[论文解读] Conjugacy growth series of some infinitely generated groups

Roland Bacher, De La Harpe, Pierre|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文计算了无限生成群的共轭增长级数，特别是有限对称群及其半直积，表明以对换为生成元的有限对称群的共轭增长级数等于分拆函数的生成级数。文章建立了分拆系数的广义拉马努金型同余式，基于数值证据，并引入了分拆完全图的概念，作为半哈密顿图的推广。

ABSTRACT

It is observed that the conjugacy growth series of the infinite fini-tary symmetric group with respect to the generating set of transpositions is the generating series of the partition function. Other conjugacy growth series are computed, for other generating sets, for restricted permutational wreath products of finite groups by the finitary symmetric group, and for alternating groups. Similar methods are used to compute usual growth polynomials and conjugacy growth polynomials for finite symmetric groups and alternating groups, with respect to various generating sets of transpositions. Computations suggest a class of finite graphs, that we call partition-complete, which generalizes the class of semi-hamiltonian graphs, and which is of independent interest. The coefficients of a series related to the finitary alternating group satisfy congruence relations analogous to Ramanujan congruences for the partition function. They follow from partly conjectural "generalized Ramanujan congruences", as we call them, for which we give numerical evidence in Appendix C.

研究动机与目标

• 计算无限生成群的共轭增长级数，特别是有限对称群及其半直积。
• 探索无限群环境下共轭增长级数与分拆函数之间的联系。
• 研究来自无限交错群中共轭增长的分拆系数的广义拉马努金同余式。
• 引入并研究分拆完全图类，作为半哈密顿图的推广。
• 比较有限对称群与交错群在不同对换生成集下的共轭增长多项式与词长增长多项式。

提出的方法

• 使用共轭长度函数 κG,S(g) 定义 γG,S(n)，即最小共轭词长为 n 的共轭类数量。
• 定义共轭增长级数 CG,S(q) = ∑γG,S(n)qn，重点关注满足条件 (Fin) 的无限生成集的群。
• 应用生成函数技巧，证明以对换为生成元的有限对称群的共轭增长级数即为欧拉函数 ∏(1−qj)−1。
• 在有限域 Fp 上使用计算方法检测分拆系数中的广义拉马努金同余式，使用高达 5000 次幂的级数展开。
• 使用 Maple 程序系统测试小整数 a ∈ {2,3,4,6,8} 的因子集上所有指数组合，以识别候选同余式。
• 通过循环类型与对换生成集的组合分析，引入分拆完全图的概念。

实验结果

研究问题

• RQ1 以所有对换为生成集时，有限对称群的共轭增长级数是什么？
• RQ2 有限群关于有限对称群的受限置换半直积的共轭增长级数行为如何？
• RQ3 有限交错群的共轭增长级数系数是否满足拉马努金型同余式？
• RQ4 能否使用计算代数方法系统识别分拆系数的广义拉马努金同余式？
• RQ5 新定义的分拆完全图类具有何种组合意义？

主要发现

• 以对换为生成元的有限对称群的共轭增长级数即为分拆函数的生成函数：CG,S(q) = ∏j≥1(1−qj)−1。
• 对于有限交错群，其共轭增长级数的系数满足类似于拉马努金对分拆函数所建立的同余关系。
• 数值证据支持模小素数的广义拉马努金同余式存在，包括模 11 和 13 的情形，具有特定的剩余类与指数元组。
• 本文识别出大量候选广义拉马努金同余式，表明其丰富而非罕见。
• 作为半哈密顿图的推广，分拆完全图类自然源于对换生成的对称群的组合结构。
• 计算验证至 5000 次幂未发现误报，支持所推测同余式的可靠性。