[论文解读] Conjugacy growth series of some wreath products

Valentin Mercier|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Meromorphic and Entire Functions参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文推导出当 $L$ 具有树状凯莱图时，半直积 $G\wr\mathbb{Z}$ 与 $G\wr(C_2*C_2)$ 的共轭增长级数的显式公式。研究证明，共轭增长级数的收敛半径等于标准增长级数的收敛半径，并证实了灯夫群 $C_2\wr\mathbb{Z}$ 的共轭增长级数在 $\mathbb{Q}(z)$ 上为超越函数，从而确认了其渐近增长速率的等价性。

ABSTRACT

In this paper we consider groups of the form $G\wr L$, where the set of generators naturally extends the sets of generators of $G$ and $L$, and $L$ admits a Cayley graph that is a tree. We show how one can compute the conjugacy growth series of such groups in terms of the standard and conjugacy growth series of $G$. We then provide explicit formulas for groups of the form $G\wr \mathbb{Z}$ and $G\wr (C_2*C_2)$. We also prove that the radius of convergence of the conjugacy growth series of $G\wr L$, for any $G$ and $L$ as above, is the same as the radius of convergence of its standard growth series.

研究动机与目标

• 计算当 $L$ 的凯莱图为树时，半直积 $G\wr L$ 的共轭增长级数。
• 建立共轭增长级数与 $G$ 和 $L$ 的标准增长级数之间的联系。
• 为 $G\wr\mathbb{Z}$ 与 $G\wr(C_2*C_2)$ 提供显式公式。
• 分析共轭类的渐近行为，特别是对灯夫群的分析。
• 确认此类半直积的共轭增长级数的收敛半径与标准增长级数的收敛半径相等。

提出的方法

• 利用 $L$ 的凯莱图为树时，半直积中最小长度共轭代表元的结构。
• 应用 Matveev (1966) 的共轭判别法，根据 $L$ 中的“游标”位置对共轭类进行分类。
• 采用生成函数技巧与形式幂级数，将共轭增长表示为 $G$ 的标准增长级数的函数。
• 利用 Parlier (1992) 在 $L$ 的凯莱图为树时，对 $G\wr L$ 的标准增长级数所得结果。
• 将共轭增长级数分解为来自 $L$ 中平凡、有限阶与无限阶游标位置的贡献。
• 使用莫比乌斯反演与欧拉函数 $\phi(r)$，计算 $L$ 在包含原点的有限子树上的左作用下的轨道数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $L$ 的凯莱图为树时，如何计算 $G\wr L$ 的共轭增长级数？
• RQ2 共轭增长级数的收敛半径与 $G\wr L$ 的标准增长级数之间有何关系？
• RQ3 能否为 $G\wr\mathbb{Z}$ 与 $G\wr(C_2*C_2)$ 的共轭增长级数推导出显式公式？
• RQ4 $C_2\wr\mathbb{Z}$ 的共轭增长级数在 $\mathbb{Q}(z)$ 上是否为超越函数？
• RQ5 $G\wr L$ 中共轭类的渐近增长与 $G$ 和 $L$ 的渐近增长相比如何？

主要发现

• 在 $G\wr\mathbb{Z}$ 的情况下，共轭增长级数由 $\tilde{\sigma}_{(G,Y)}(z)$、$\tilde{\sigma}_{(G,Y)}(z^2)$ 以及 $\phi(r)/r$ 项的和构成的公式给出。
• 对于 $G\wr(C_2*C_2)$，共轭增长级数表示为三项之和：一项涉及 $\phi(r)/r$ 与 $\sigma_{(G,Y)}(z^r)^{2s}$，一项关于 $z$ 的线性项，以及来自对称子树的贡献。
• $C_2\wr\mathbb{Z}$ 中共轭类数量的渐近增长满足 $[z^m]\tilde{\sigma}_{(C_2\wr\mathbb{Z},\vec{Y})}(z) \sim \frac{2}{m}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^m$，表明其呈指数增长。
• $C_2\wr\mathbb{Z}$ 的共轭增长级数在 $\mathbb{Q}(z)$ 上为超越函数，该结论通过渐近估计及 Flajolet (1987) 的结果得以证明。
• $G\wr L$ 的共轭增长级数的收敛半径对所有具有树状凯莱图的 $G$ 与 $L$ 均等于其标准增长级数的收敛半径。
• $G\wr L$ 的共轭增长级数被分解为来自平凡、有限阶与无限阶游标位置的贡献，每一类均通过 $L$ 在左作用下的轨道计数方法处理。