[论文解读] Constant curvature foliations on asymptotically hyperbolic spaces

Rafe Mazzeo, Frank Pacard|ArXiv.org|Oct 11, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 6

一句话总结

该论文建立了渐近双曲流形在共形无穷远处的半线性椭圆方程与内部近无穷远处的Weingarten叶状结构之间的对应关系，通过共形几何方法和对曲率算子应用隐函数定理，证明了拟Fuchsian 3-流形中常高斯曲率叶状结构的存在性与唯一性。

ABSTRACT

Let $(M,g)$ be an asymptotically hyperbolic manifold with a smooth conformal compactification. We establish a general correspondence between semilinear elliptic equations of scalar curvature type on $\del M$ and Weingarten foliations in some neighbourhood of infinity in $M$. We focus mostly on foliations where each leaf has constant mean curvature, though our results apply equally well to foliations where the leaves have constant $σ_k$-curvature. In particular, we prove the existence of a unique foliation near infinity in any quasi-Fuchsian 3-manifold by surfaces with constant Gauss curvature. There is a subtle interplay between the precise terms in the expansion for $g$ and various properties of the foliation. Unlike other recent works in this area, by Rigger \cite{Ri} and Neves-Tian \cite{NT1}, \cite{NT2}, we work in the context of conformally compact spaces, which are more general than perturbations of the AdS-Schwarzschild space, but we do assume a nondegeneracy condition.

研究动机与目标

• 建立共形无穷远处标量曲率型椭圆方程与渐近双曲流形内部Weingarten叶状结构之间的一般对应关系。
• 将常平均曲率（CMC）叶状结构的存在性与唯一性结果推广至更一般的曲率条件，包括常$\sigma_k$-曲率与高斯曲率。
• 在更广泛的共形紧致流形类中进行研究，推广此前关于AdS-Schwarzschild空间扰动结果。
• 证明在任意拟Fuchsian 3-流形中，近无穷远处存在唯一由常高斯曲率曲面构成的叶状结构。
• 分析度量的渐近展开与叶状结构几何性质之间的相互作用，尤其在非退化与曲率条件下的表现。

提出的方法

• 利用共形紧致化，将无穷远处近似水平集的几何性质与边界$\partial M$上的共形结构联系起来。
• 应用Graham-Lee对应关系，将特殊定义函数$x$与具有受控平均曲率的水平集关联起来。
• 将寻找常$\sigma_k$-曲率叶状结构的问题转化为在边界共形类中求解一个完全非线性椭圆型PDE。
• 对曲率算子$\mathcal{N}_k(\phi_0, \varepsilon)$应用隐函数定理，通过牛顿恒等式与迹公式分析其线性化。
• 利用$\sigma_k$的线性化形式$T_{k-1}(B)$的牛顿多项式，推导出算子的主部为$\binom{n-1}{k-1}(\Delta_{h_0} + \frac{R_{h_0}}{n-1})$。
• 在标量曲率$R_{h_0}$为负（或在正曲率情况下非退化）的条件下，建立线性化算子的可逆性，从而通过隐函数定理获得解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在渐近双曲流形的内部Weingarten叶状结构与共形无穷远处的椭圆PDE之间建立一般对应关系？
• RQ2 在何种条件下，拟Fuchsian 3-流形中近无穷远处存在唯一的常高斯曲率曲面叶状结构？
• RQ3 度量$g = \rho^{-2}\bar{g}$的渐近展开如何影响此类叶状结构的存在性与唯一性？
• RQ4 共形Laplacian的非退化性在$\sigma_k$-曲率叶状结构存在性中起何种作用？
• RQ5 CMC叶状结构的结果在多大程度上可推广至具有常$\sigma_k$-曲率的叶状结构，包括高斯曲率（$k=n$）的情形？

主要发现

• 对于任意拟Fuchsian 3-流形，每个端点附近均存在唯一由常高斯曲率曲面构成的叶状结构。
• 在弱Poincaré-Einstein情形下，若共形无穷远处的标量曲率为负，则对所有$k=1,\dots,n$，存在唯一由$\sigma_k$-曲率曲面构成的叶状结构。
• 当共形无穷远处的标量曲率为正时，对每个具有常标量曲率且共形Laplacian非退化的$h_0$，均存在唯一叶状结构。
• 在初始近似处，$\sigma_k$-曲率算子的线性化形式为$\binom{n-1}{k-1}(\Delta_{h_0} + \frac{R_{h_0}}{n-1})$，当$R_{h_0} < 0$时该算子可逆。
• 该方法依赖于对定义函数水平集的扰动应用隐函数定理，其中扰动参数$\phi_0$是$\partial M$上非线性PDE的解。
• 计算了第二基本形式与曲率算子的渐近展开至$\mathcal{O}(x^3)$阶，从而在无穷远处精确控制曲率泛函。