[论文解读] Constant Factor Time Optimal Multi-Robot Routing on High-Dimensional Grids in Mostly Sub-Quadratic Time

Jingjin Yu|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文提出 i SaG 和 PartitionAndFlow (PaF) 两种算法，用于在高维网格上实现最大机器人密度下的时间最优多机器人路径规划。i SaG 在大多数情况下以近乎亚二次时间实现常数因子时间最优性，而 PaF 则通过先进的匹配与流分解技术，保证在任意固定维度 $k \geq 2$ 下，具有 $O(d_g)$ 完工时间（makespan）和 $o(|V|^2)$ 的运行时间，实现最坏情况下的常数因子时间最优性。

ABSTRACT

Let $G = (V, E)$ be an $m_1 imes \ldots imes m_k$ grid. Assuming that each $v \in V$ is occupied by a robot and a robot may move to a neighboring vertex in a step via synchronized rotations along cycles of $G$, we first establish that the arbitrary reconfiguration of labeled robots on $G$ can be performed in $O(k\sum_i m_i)$ makespan and requires $O(|V|^2)$ running time in the worst case and $o(|V|^2)$ when $G$ is non-degenerate (in the current context, a grid is degenerate if it is nearly one dimensional). The resulting algorithm, iSAG, provides average case $O(1)$-approximate (i.e., constant-factor) time optimality guarantee. When all dimensions are of similar size $O(|V|^{\frac{1}{k}})$, the running time of iSAG approaches a linear $O(|V|)$. Define $d_g(p)$ as the largest distance between individual initial and goal configurations over all robots for a given problem instance $p$, building on iSAG, we develop the PartitionAndFlow (PAF) algorithm that computes $O(d_g(p))$ makespan solutions for arbitrary fixed $k \ge 2$, using mostly $o(|V|^2)$ running time. PAF provides worst case $O(1)$-approximation regarding solution time optimality. We note that the worst case running time for the problem is $Ω(|V|^2)$.

研究动机与目标

• 开发适用于高维网格且机器人密度最大的时间最优多机器人路径规划算法。
• 在保持平均情况下常数因子时间最优性的同时，实现亚二次运行时间。
• 通过一种新颖的基于流的路径规划策略，将解决方案扩展至最坏情况下的时间最优性保证。
• 提供可高效扩展至高维网格与大范围机器人位移的算法。
• 使该方法可实际部署于密集机器人系统，如自动化仓库与集装箱码头。

提出的方法

• i SaG 使用基于二分图匹配的打乱过程，将未标记的机器人在网格中重新分布，从而实现高效的重新配置。
• 该算法采用基于匹配的方法将机器人流分解为单位循环流，从而实现高效的流路径规划。
• PaF 将 i SaG 作为子程序，并通过在正交维度上递归地剥离与堆叠流形状，实现流的重构。
• 该方法使用一个大小为 $[6d_g]^k$ 的辅助网格，安全地在主网格的面之间重塑和路由流。
• 关键组件是利用了在 $\Theta(d_g)^k$ 网格中存在 $\Omega(d_g^{k-1})$ 个顶点不相交路径，从而实现高吞吐量的流路由。
• PaF 使用最大流算法计算全局路径规划，其时间复杂度主要由 $O(d_g^k |V|)$ 主导。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在高维网格上以近乎亚二次时间实现时间最优的多机器人路径规划？
• RQ2 是否可能在运行时间低于 $O(|V|^2)$ 的前提下，仍保证最坏情况下的常数因子时间最优性？
• RQ3 如何在多维空间中高效执行流重构，以实现高吞吐量的路径规划？
• RQ4 顶点不相交路径结构在高维网格中实现高效路径规划中起到何种作用？
• RQ5 该算法框架能否推广至其他网格状或连续的机器人应用场景？

主要发现

• i SaG 在非退化网格上实现平均情况 $O(1)$-近似时间最优性，运行时间为 $o(|V|^2)$，最坏情况下为 $O(|V|^2)$。
• 当所有维度大小为 $O(|V|^{1/k})$ 时，i SaG 的运行时间趋近于线性时间 $O(|V|)$。
• PaF 对任意固定的 $k \geq 2$，可计算出 $O(d_g(p))$ 完工时间的解，确保最坏情况下时间最优性的 $O(1)$-近似。
• PaF 的运行时间为 $O(d_g^k |V|)$，当 $d_g = o(|V|^{1/k})$ 时，其时间复杂度为 $|V|$ 的亚二次函数，最坏情况下为 $O(|V|^2)$。
• 该算法证明了在 $\Theta(d_g)^k$ 网格中存在 $\Omega(d_g^{k-1})$ 个顶点不相交路径，从而支持高效的流路由。
• 该框架可通过扩展与网格对齐推广至连续场景，对圆盘型机器人仍保持 $O(1)$-近似保证。