[论文解读] Constant mean curvature surfaces in sub-Riemannian geometry

Robert K. Hladky, Scott D. Pauls|ArXiv.org|Aug 17, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文为垂直刚性子黎曼流形中的常平均曲率（CMC）曲面构建了一个变分框架，引入了一种自适应联络并推导出显式的欧拉-拉格朗日方程。证明了极小曲面与等周曲面在特征点之外满足常水平平均曲率条件，并引入了一种新颖的水平第二基本形式 $II_0$，表明极小曲面不可能具有水平正曲率的点，且在卡诺群中不可能是局部水平几何凸的。

ABSTRACT

We investigate the minimal and isoperimetric surface problems in a large class of sub-Riemannian manifolds, the so-called Vertically Rigid spaces. We construct an adapted connection for such spaces and, using the variational tools of Bryant, Griffiths and Grossman, derive succinct forms of the Euler-Lagrange equations for critical points for the associated variational problems. Using the Euler-Lagrange equations, we show that minimal and isoperimetric surfaces satisfy a constant horizontal mean curvature conditions away from characteristic points. Moreover, we use the formalism to construct a horizontal second fundamental form, $II_0$, for vertically rigid spaces and, as a first application, use $II_0$ to show that minimal surfaces cannot have points of horizontal positive curvature and, that minimal surfaces in Carnot groups cannot be locally horizontally geometrically convex. We note that the convexity condition is distinct from others currently in the literature.

研究动机与目标

• 为解决在海森堡群等特定情况之外，子黎曼几何中常平均曲率曲面缺乏通用分析工具的问题。
• 将变分方法从黎曼几何与欧氏几何推广至一类广泛的子黎曼流形——垂直刚性空间，涵盖卡诺群与马丁内特型空间。
• 通过一种新的几何不变量——水平第二基本形式 $II_0$，对极小曲面与等周曲面进行表征。
• 建立一种新颖的凸性概念——水平几何凸性（hg-convexity），并证明在卡诺群中极小曲面不可能局部包围 hg-凸集。

提出的方法

• 为垂直刚性子黎曼空间引入一种新型自适应联络，使变分计算得以一致进行。
• 应用布赖恩特、格里菲斯与格罗兹曼的变分框架，推导面积与体积泛函临界点的简洁欧拉-拉格朗日方程。
• 将水平第二基本形式 $II_0$ 定义为分析水平分布中曲率与凸性的关键几何对象。
• 利用自适应联络与 $II_0$，将水平切平面上曲线的水平曲率与第二基本形式及平均曲率联系起来。
• 通过黎曼度量与左不变向量场计算水平加速度 $\ddot{c}_0(t)$，并将其与 $\langle \nabla_{\dot{c}}\dot{c}, v_0 \rangle$ 关联。
• 通过分析 $\ddot{c}_0(0)$ 相对于水平法向方向 $e_0$ 的符号，建立水平凸性的几何判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子黎曼流形中，周长最小或固定体积下周长最小的曲面是否满足偏微分方程？
• RQ2 在子黎曼空间中，极小问题与等周问题的解能否通过几何方式表征？
• RQ3 水平曲率与第二基本形式在决定极小曲面与CMC曲面的几何性质中起何作用？
• RQ4 新提出的水平几何凸性概念与卡诺群中现有凸性概念有何关联？
• RQ5 能否通过自适应联络与 $II_0$ 严格证明极小曲面中不存在局部水平凸性？

主要发现

• 在垂直刚性子黎曼空间中，极小曲面与等周曲面在特征点之外满足常水平平均曲率条件。
• 水平第二基本形式 $II_0$ 定义良好，并为分析水平分布中的曲率与凸性提供了几何工具。
• 极小曲面不可能具有水平正曲率的点，这由当 $II_0$ 半正定时 $\ddot{c}_0(0)$ 的非负性所证明。
• 在卡诺群中，极小曲面不可能局部包围一个水平几何凸集，该结论通过 $\ddot{c}_0(0)$ 的符号条件得以证明。
• 水平几何凸性（hg-convexity）概念与丹内利、加罗法洛与倪晓的集合凸性概念不同，且不被文献中其他凸性条件所蕴含。
• 该框架通过使用简化曲率与变分分析的自适应联络，将欧氏与黎曼结果推广至子黎曼几何。