[论文解读] Constant scalar curvature equation and the regularity of its weak solution

Weiyong He, Yu Zeng|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 12

一句话总结

该论文在紧致凯勒流形上，通过建立拉普拉斯算子在 $L^∞$ 凯勒度量下的新型 $W^{2,2}$ 正则性结果，证明了当度量属于 $L^∞$ 时，常数量曲率凯勒（CSCK）方程弱解的光滑性。关键贡献在于证明了 $K$-能量的 $C^{1,\bar{1}}$ 极小化子是光滑的 CSCK 度量，部分证实了陈的猜想。

ABSTRACT

In this paper we study constant scalar curvature equation (CSCK), a nonlinear fourth order elliptic equation, and its weak solutions on Kähler manifolds. We first define a notion of weak solution of CSCK for an $L^\infty$ Kähler metric. The main result is to show that such a weak solution (with uniform $L^\infty$ bound) is smooth. As an application, this answers in part a conjecture of Chen regarding the regularity of $K$-energy minimizers. The new technical ingredient is a $W^{2, 2}$ regularity result for the Laplacian equation $Δ_g u=f$ on Kähler manifolds, where the metric has only $L^\infty$ coefficients. It is well-known that such a $W^{2, 2}$ regularity ($W^{2, p}$ regularity for any $p>1$) fails in general (except for dimension two) for uniform elliptic equations of the form $a^{ij}\partial^2_{ij}u=f$ for $a^{ij}\in L^\infty$, without certain smallness assumptions on the local oscillation of $a^{ij}$. We observe that the Kähler condition plays an essential role to obtain a $W^{2, 2}$ regularity for elliptic equations with only $L^\infty$ elliptic coefficients on compact manifolds.

研究动机与目标

• 定义并研究 $L^\infty$ 凯勒度量下常数量曲率凯勒（CSCK）方程的弱解。
• 建立此类弱解的正则性，证明在一致 $L^\infty$ 有界条件下解是光滑的。
• 解决陈的猜想：$K$-能量的 $C^{1,\bar{1}}$ 极小化子是否为光滑的 CSCK 度量。
• 发展凯勒流形上具有 $L^\infty$ 系数的拉普拉斯算子 $\Delta_g u = f$ 的 $W^{2,2}$ 正则性理论，该结果在一般非凯勒椭圆方程中不成立。
• 将正则性结果推广至修正的 $K$-能量和极值度量，证明在对称性假设下极小化子的光滑性。

提出的方法

• 为 $L^\infty$ 凯勒度量下的 CSCK 方程引入 $\Delta$-弱解的概念。
• 在紧致凯勒流形上，当度量仅有 $L^\infty$ 系数时，建立 $\Delta_g u = f$ 的 $W^{2,2}$ 正则性结果，利用凯勒结构克服标准 $W^{2,p}$ 估计的失效。
• 利用 $W^{2,2}$ 正则性证明 $L^\infty$ 条件下的 CSCK 方程弱解属于 $W^{2,2}$，从而具有 Hölder 连续性，进而蕴含更高阶正则性。
• 通过证明满足弱 CSCK 方程的 $C^{1,\bar{1}}$ 潜势函数是光滑的，将正则性理论应用于 $K$-能量极小化子。
• 通过证明修正 $K$-能量的 $L^\infty$ 不变量极小化子是光滑的极值度量，将论证推广至修正 $K$-能量情形。
• 利用扭曲 CSCK 方程的先验估计，包括使用大常数 $A$ 的最大值原理，推导出体积形式的统一下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当度量仅为 $L^\infty$ 时，能否证明常数量曲率凯勒方程的弱解是光滑的？
• RQ2 如陈所猜想，$K$-能量在 $C^{1,\bar{1}}$ 类中的极小化子是否具有光滑代表？
• RQ3 尽管在一般椭圆理论中不成立，能否在 $L^\infty$ 凯勒度量下建立拉普拉斯算子的 $W^{2,2}$ 正则性？
• RQ4 $W^{2,2}$ 正则性结果是否依赖于凯勒条件？与实椭圆理论有何不同？
• RQ5 能否通过修正 $K$-能量将正则性结果推广至极值度量？

主要发现

• 证明了在 $\Delta$-弱意义下，具有 $L^\infty$ 凯勒度量的 CSCK 方程弱解若一致有界，则为光滑解。
• $L^\infty$ 凯勒度量下，紧致流形上拉普拉斯算子 $\Delta_g u = f$ 的 $W^{2,2}$ 正则性得以确立，该结果在一般非凯勒椭圆方程中不成立。
• 证明了 $K$-能量在 $C^{1,\bar{1}}$ 类中的极小化子为光滑的 CSCK 度量，部分证实了陈的猜想。
• 正则性结果可推广至修正 $K$-能量：$L^\infty$ 不变量极小化子为光滑的极值度量。
• 通过使用大常数 $A$ 的最大值原理，建立了扭曲 CSCK 方程的先验估计，从而获得体积形式的统一下界。
• $W^{2,2}$ 正则性与解的 Hölder 连续性蕴含更高阶正则性，最终导致度量的完全光滑性。