[论文解读] Constrained Non-Monotone Submodular Maximization: Offline and Secretary Algorithms

Anupam Gupta, Aaron Roth+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文提出了一套基于贪心策略的简单算法，用于约束性非单调子模最大化问题，在多项式时间内实现了对 p-独立系统下的 O(p)-近似解，以及在背包约束下的常数因子近似解。该方法将原本用于单调子模函数的贪心算法推广至非单调设置，并进一步扩展至秘书问题场景，对均匀分布和划分拟阵实现了 O(1)-近似解，对一般秩为 k 的拟阵实现了 O(log k)-近似解。

ABSTRACT

Constrained submodular maximization problems have long been studied, with near-optimal results known under a variety of constraints when the submodular function is monotone. The case of non-monotone submodular maximization is less understood: the first approximation algorithms even for the unconstrainted setting were given by Feige et al. (FOCS '07). More recently, Lee et al. (STOC '09, APPROX '09) show how to approximately maximize non-monotone submodular functions when the constraints are given by the intersection of p matroid constraints; their algorithm is based on local-search procedures that consider p-swaps, and hence the running time may be n^Omega(p), implying their algorithm is polynomial-time only for constantly many matroids. In this paper, we give algorithms that work for p-independence systems (which generalize constraints given by the intersection of p matroids), where the running time is poly(n,p). Our algorithm essentially reduces the non-monotone maximization problem to multiple runs of the greedy algorithm previously used in the monotone case. Our idea of using existing algorithms for monotone functions to solve the non-monotone case also works for maximizing a submodular function with respect to a knapsack constraint: we get a simple greedy-based constant-factor approximation for this problem. With these simpler algorithms, we are able to adapt our approach to constrained non-monotone submodular maximization to the (online) secretary setting, where elements arrive one at a time in random order, and the algorithm must make irrevocable decisions about whether or not to select each element as it arrives. We give constant approximations in this secretary setting when the algorithm is constrained subject to a uniform matroid or a partition matroid, and give an O(log k) approximation when it is constrained by a general matroid of rank k.

研究动机与目标

• 开发高效、多项式时间的算法，用于解决非单调子模最大化问题，超越单调情形的限制。
• 将现有针对单调子模函数的贪心算法推广至非单调设置，并提供可证明的近似保证。
• 将离线算法适配至在线秘书问题场景，其中元素以随机顺序到达，且决策不可撤销。
• 在秘书模型中，为非单调子模最大化问题提供首个常数因子近似算法。
• 通过在近似精度上牺牲少量常数因子，实现相较于先前局部搜索方法的运行时间指数级提升，从而改善运行效率。

提出的方法

• 采用基于阈值的贪心算法，维护两个集合 S1 和 S2，仅当元素的边际增益超过阈值 τ 且保持独立性时才将其加入。
• 采用随机化阈值选择策略，从 {w1, w1/2, ..., w1/2k} 中均匀随机采样 τ，其中 w1 为最具价值元素的权重。
• 在秘书问题场景中应用双重采样技术：采样一半元素以估计最高价值元素，并基于其权重设定随机阈值。
• 通过多次运行标准贪心算法（常用于单调情形）将非单调最大化问题转化为多个子问题，利用子模性与独立性约束。
• 利用并集界与子模性，控制因舍弃边际增益较低元素所导致的损失，确保期望值在最优解的常数因子范围内。
• 在多个阈值层级上实施随机化舍入策略，以在秘书模型中实现对数级近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有效将专为单调子模最大化设计的贪心算法，适配至具有约束条件的非单调子模函数？
• RQ2 在 p-独立系统约束下，使用多项式时间算法，非单调子模最大化问题的近似比能达到多少？
• RQ3 在基数约束与划分拟阵约束下，能否在秘书问题场景中实现非单调子模最大化的常数因子近似？
• RQ4 在秘书模型中，对于一般拟阵约束下的非单调子模最大化问题，可达到的最佳近似比是多少？
• RQ5 相较于先前的局部搜索方法，如何改进非单调子模最大化问题中近似比与运行时间之间的权衡？

主要发现

• 本文在 p-独立系统约束下，实现了对非单调子模最大化问题的 O(p)-近似解，运行时间在 n 和 p 上为多项式时间，优于先前的指数时间局部搜索方法。
• 通过基于贪心的策略，实现了对背包约束下非单调子模最大化问题的常数因子近似解。
• 在秘书问题场景中，对均匀拟阵与划分拟阵约束，实现了 O(1)-近似解，这是首次针对非单调目标函数的此类结果。
• 在秘书模型中，对一般秩为 k 的拟阵约束，实现了 O(log k)-近似解，与线性拟阵秘书问题的已知界一致。
• 当阈值在多个层级上随机化时，该阈值贪心算法在秘书模型中实现了期望近似比为 Ω(OPT / (log k)) 的性能。
• 分析表明，通过从几何序列中选取阈值，并利用两个独立集合，该算法可确保其期望值相对于最优解为常数倍。