[论文解读] Non-monotone submodular maximization under matroid and knapsack constraints

Jon Lee, Vahab Mirrokni+2 more|ArXiv.org|Feb 2, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 114

一句话总结

本文提出了首个针对多个拟阵和背包约束下非单调子模函数最大化问题的常数因子近似算法。它引入了一种新颖的局部搜索框架，结合广义交换操作与随机化舍入，对 $k$ 个划分拟阵实现了 $\left(\frac{1}{k+1+\frac{1}{k-1}+\epsilon}\right)$-近似，对 $k$ 个背包约束实现了 $\left(\frac{1}{5}-\epsilon\right)$-近似，并在单调函数情形下获得了更优的界。

ABSTRACT

Submodular function maximization is a central problem in combinatorial optimization, generalizing many important problems including Max Cut in directed/undirected graphs and in hypergraphs, certain constraint satisfaction problems, maximum entropy sampling, and maximum facility location problems. Unlike submodular minimization, submodular maximization is NP-hard. For the problem of maximizing a non-monotone submodular function, Feige, Mirrokni, and Vondrák recently developed a $2\over 5$-approximation algorithm \cite{FMV07}, however, their algorithms do not handle side constraints.} In this paper, we give the first constant-factor approximation algorithm for maximizing any non-negative submodular function subject to multiple matroid or knapsack constraints. We emphasize that our results are for {\em non-monotone} submodular functions. In particular, for any constant $k$, we present a $({1\over k+2+{1\over k}+ε})$-approximation for the submodular maximization problem under $k$ matroid constraints, and a $({1\over 5}-ε)$-approximation algorithm for this problem subject to $k$ knapsack constraints ($ε>0$ is any constant). We improve the approximation guarantee of our algorithm to ${1\over k+1+{1\over k-1}+ε}$ for $k\ge 2$ partition matroid constraints. This idea also gives a $({1\over k+ε})$-approximation for maximizing a {\em monotone} submodular function subject to $k\ge 2$ partition matroids, which improves over the previously best known guarantee of $\frac{1}{k+1}$.

研究动机与目标

• 开发首个针对多个拟阵和背包约束下非单调子模最大化问题的常数因子近似算法。
• 解决子模函数非单调性带来的挑战，该问题推广了如最大割和最大设施定位等 NP-难问题。
• 在先前工作基础上进一步提升近似保证，尤其针对划分拟阵和背包约束。
• 为最大熵采样和最优实验设计等问题提供可证明的近似保证。

提出的方法

• 提出一种广义局部搜索算法，允许在丢弃最多 $(k-1)\cdot p$ 个元素的同时引入 $p$ 个新元素，优于标准的单元素交换。
• 基于多个划分拟阵的交换映射，构建多图结构，以分析可行解的结构性质。
• 对分数解实施随机化舍入，实现对背包约束下轻量元素的 $\left(\frac{1}{4}-\epsilon\right)$-近似。
• 结合对重元素的枚举与对轻量元素的随机化舍入，实现对 $k$ 个背包约束的 $\left(\frac{1}{5}-\epsilon\right)$-近似。
• 利用多图中路径/环分解的强化交换引理，推导出关键不等式 $k\cdot f(S) \geq \left(1-\frac{1}{p}\right)\cdot f(S\cup C) + (k-1)\cdot f(S\cap C)$。
• 借助 Jan Vondrák 对引理 2 的简化证明，强化了局部搜索分析的理论基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $k$ 个拟阵约束下，为非单调子模最大化问题实现常数因子近似？
• RQ2 在 $k$ 个背包约束下，非单调子模最大化问题的最佳可能近似比是多少？
• RQ3 在划分拟阵约束的特殊情形下，近似保证能否得到改进？
• RQ4 与标准局部搜索相比，采用多元素交换的广义局部搜索在子模优化中如何实现性能提升？

主要发现

• 本文对 $k$ 个拟阵约束实现了 $\left(\frac{1}{k+2+\frac{1}{k}+\epsilon}\right)$-近似，首次为该设置提供了常数因子保证。
• 对 $k$ 个背包约束，算法实现了 $\left(\frac{1}{5}-\epsilon\right)$-近似，这是该问题类别的首个常数因子结果。
• 在 $k$ 个划分拟阵约束下，近似比提升至 $\left(\frac{1}{k+1+\frac{1}{k-1}+\epsilon}\right)$，显著优于先前的界。
• 对于 $k$ 个划分拟阵下的单调子模函数，算法实现了 $\left(\frac{1}{k+\epsilon}\right)$-近似，优于此前最佳的 $\frac{1}{k+1}$。
• 该方法结合重元素的枚举与轻元素的随机化舍入，确保在背包约束下近似质量有界。
• 理论分析依赖于一种基于多图的新型交换论证，以及涉及 $f(S\cup C)$ 和 $f(S\cap C)$ 的强化不等式，从而实现了更紧的界。