[论文解读] Constructing a quantum field theory from spacetime

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Jerzy Król|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 47被引用 5

一句话总结

该论文通过将小 $\mathbb{R}^{4}$ 上的奇异微分结构与 $S^3$ 的余维数 1 叶状结构联系起来，从时空几何构建了量子场论（QFT），其叶空间通过非交换几何产生超有限 $\mathrm{II}_1$ von Neumann 代数。关键结果是：对亏格 $g>1$ 的曲面上的全息函数的 Poisson 代数进行 Turaev-Drinfeld 变形量子化，可得到一个与 QFT 的可观测量代数同构的 $\mathrm{II}_1$ 因子，其中纽结和纽结同痕被解释为量子态与算符。

ABSTRACT

The paper shows deep connections between exotic smoothings of a small R^4 (the spacetime), the leaf space of codimension-1 foliations (related to noncommutative algebras) and quantization. At first we relate a small exotic R^4 to codimension-1 foliations of the 3-sphere unique up to foliated cobordisms and characterized by the real-valued Godbillon-Vey invariant. Special care is taken for the integer case which is related to flat PSL(2,R)-$bundles. Then we discuss the leaf space of the foliation using noncommutative geometry. This leaf space contains the hyperfinite III_1 factor of Araki and Woods important for quantum field theory (QFT) and the I_{\infty} factor. Using Tomitas modular theory, one obtains a relation to a factor II_{\infty} algebra given by the horocycle foliation of the unit tangent bundle of a surface S of genus g>1. The relation to the exotic R^4 is used to construct the (classical) observable algebra as Poisson algebra of functions over the character variety of representations of the fundamental group π_{1}(S) into the SL(2,C). The Turaev-Drinfeld quantization (as deformation quantization) of this Poisson algebra is a (complex) skein algebra which is isomorphic to the hyperfinite factor II_{1} algebra determining the factor II_{\infty}=II_{1}\otimes I_{\infty} algebra of the horocycle foliation. Therefore our geometrically motivated hyperfinite III_1 factor algebra comes from the quantization of a Poisson algebra. Finally we discuss the states and operators to be knots and knot concordances, respectively.

研究动机与目标

• 从时空几何出发，建立无需依赖传统从经典场论出发的量子场论（QFT）几何构造。
• 通过 Godbillon-Vey 不变量将奇异 $\mathbb{R}^{4}$ 的显式坐标表示缺失问题解决，将其与 $S^3$ 的余维数 1 叶状结构联系起来。
• 利用非交换几何与 Tomita-Takesaki 理论，将 QFT 的可观测量代数实现为超有限 $\mathrm{II}_1$ 因子。
• 通过全息表示的几何量子化，将量子态与算符解释为纽结与纽结同痕。

提出的方法

• 使用小奇异 $\mathbb{R}^{4}$ 的径向族（参数为 $t \in [0,1)$）定义一维参数族的 Casson 手柄与带帽的 Gropes。
• 从带帽 Gropes 设计的边界出发，利用 $PSL(2,\mathbb{R})$-不变的双曲多边形 $P$ 作为模型，在 3-球 $S^3$ 上构造余维数 1 叶状结构。
• 将叶状结构的 Godbillon-Vey 不变量识别为 $GV = r^2$，其中 $r = 1/(1-t)$ 是奇异 $\mathbb{R}^{4}$ 的径向坐标，使其成为 cobordism 不变量。
• 对叶状结构的叶空间应用非交换几何，得到与 Araki 与 Woods 的超有限 $\mathrm{II}_1$ 因子同构的 von Neumann 代数。
• 将经典可观测量代数定义为曲面 $S$（亏格 $g>1$）上 $\mathrm{Hom}(\pi_1(S), SL(2,\mathbb{C}))$ 的特征簇上的函数的 Poisson 代数。
• 对这一 Poisson 代数进行 Turaev-Drinfeld 变形量子化，得到一个与 $\mathrm{II}_1$ 因子同构的复 skein 代数，从而实现量子可观测量代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 $\mathbb{R}^{4}$ 上的奇异微分结构在不依赖规范量子化的情况下构造量子场论？
• RQ2 小奇异 $\mathbb{R}^{4}$ 与 $S^3$ 的余维数 1 叶状结构之间存在何种精确的几何与拓扑关系？
• RQ3 叶状结构的 Godbillon-Vey 不变量如何编码奇异 $\mathbb{R}^{4}$ 的微分结构信息？
• RQ4 QFT 的可观测量代数能否自然地从由奇异微分结构构造的叶状结构的叶空间中产生？
• RQ5 在此几何量子化框架下，纽结理论如何解释量子态与算符的物理意义？

主要发现

• 每个小奇异 $\mathbb{R}^{4}$ 唯一对应一个余维数 1 叶状结构（模叶状 cobordism），其 Godbillon-Vey 不变量 $GV = r^2 = (1/(1-t))^2$ 区分了非微分同胚的结构。
• 叶状结构的叶空间通过非交换几何产生超有限 $\mathrm{II}_1$ 因子代数，该代数与局部代数方法中的 QFT 可观测量代数同构。
• 经典可观测量代数被实现为亏格 $g>1$ 的曲面 $S$ 上 $\mathrm{Hom}(\pi_1(S), SL(2,\mathbb{C}))$ 的特征簇上的函数的 Poisson 代数。
• 对这一 Poisson 代数进行 Turaev-Drinfeld 变形量子化，产生一个与 $\mathrm{II}_1$ 因子同构的复 skein 代数，从而确认了量子可观测量代数。
• 所得的 $\mathrm{II}_\infty$ 因子代数同构于 $\mathrm{II}_1 \otimes I_\infty$，其来源于曲面 $S$ 的单位切丛的水平线叶状结构。
• 量子态被解释为纽结，算符被解释为纽结同痕，几何构造为量子过程提供了拓扑实现。