[论文解读] Constructing compact manifolds with exceptional holonomy

Dominic Joyce|ArXiv.org|Mar 15, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文系统性地综述了通过 $T^n/\Gamma$ 和 Calabi-Yau orbifolds 的奇点解析，构建具有例外 holonomy $G_2$ 和 $Σ\text{pin}(7)$ 的紧致 7- 和 8-流形的构造方法。主要贡献在于系统性地生成了具有显式计算贝蒂数的新例子，包括 $b^4$ 高达 11,662 的紧致 $Σ\text{pin}(7)$-流形，展示了此类流形丰富而多样的“地理”结构。

ABSTRACT

The exceptional holonomy groups are G2 in 7 dimensions, and Spin(7) in 8 dimensions. Riemannian manifolds with these holonomy groups are Ricci-flat. This is a survey paper on constructions for compact 7- and 8-manifolds with holonomy G2 and Spin(7). The simplest such constructions work by using techniques from complex geometry and Calabi-Yau analysis to resolve the singularities of a torus orbifold T^7/G or T^8/G, for G a finite group preserving a flat G2 or Spin(7)-structure on T^7 or T^8. There are also more complicated constructions which begin with a Calabi-Yau manifold or orbifold. All the material in this paper is covered in much more detail in the author's book, "Compact manifolds with special holonomy", Oxford University Press, 2000.

研究动机与目标

• 为已知的紧致 7- 和 8-流形中具有例外 holonomy $G_2$ 和 $Σ\text{pin}(7)$ 的构造方法提供统一的综述。
• 解决长期存在的问题：即此前仅知非紧致形式的此类 holonomy 群的紧致构造。
• 证明当 $\pi_1(M)$ 有限时，紧致 7-流形上 $G_2$-度量的模空间是光滑的，其维数为 $b^3(M)$。
• 展示可通过解析 Calabi-Yau 4-orbifolds 并结合群作用，构造出紧致 $Σ\text{pin}(7)$-流形。
• 通过构造具有广泛贝蒂数（包括 $b^4 = 11,662$）的示例，探索紧致 $Σ\text{pin}(7)$-流形的“地理”结构。

提出的方法

• 通过使用共形解析（crepant resolutions）对 orbifolds $T^7/\Gamma$ 的奇点进行解析，构造出具有平直 $G_2$-结构的紧致 $G_2$-流形。
• 对于 $Σ\text{pin}(7)$-流形，方法基于具有自由反全纯对合 $\beta$ 的 Calabi-Yau 4-orbifolds $Y$，并构造商空间 $X = Y/\langle\beta\rangle$ 以获得具有平直 $Σ\text{pin}(7)$-结构的流形。
• 关键技术工具是解析流形上存在一个闭且共闭的 4-形式 $\Omega$，满足 $d\Omega = d^*\Omega = 0$，从而定义出平直 $Σ\text{pin}(7)$-结构。
• 通过群 $G$ 在 $\mathbb{R}^8$ 上的作用确定 holonomy 群，具体为 $\mathop{\rm Hol}(g) = \mathbb{Z}_2 \ltimes \mathop{\rm SU}(4)$ 或 $\mathop{\rm Spin}(7)$，取决于子群的包含关系。
• 构造利用了恒等式 $\Omega = \frac{1}{2}\omega \wedge \omega + \mathop{\rm Re}(\theta)$，其中 $\omega$ 为凯勒形式，$\theta$ 为全纯体积形式。
• 最终度量通过拼接解析后的分量获得，并验证在商空间与解析过程中 holonomy 群保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过解析环面 orbifolds $T^7/\Gamma$ 构造出具有 $G_2$-holonomy 的紧致 7-流形？
• RQ2 在何种条件下，紧致 $Σ\text{pin}(7)$-流形的 holonomy 群恰好为 $Σ\text{pin}(7)$，而非其真子群？
• RQ3 不同构造方法下，紧致 $Σ\text{pin}(7)$-流形的贝蒂数如何变化？其可能取值的范围是什么？
• RQ4 能否利用 Calabi-Yau 4-orbifolds 构造出具有受控拓扑结构的紧致 $Σ\text{pin}(7)$-流形？
• RQ5 紧致 $Σ\text{pin}(7)$-流形的集合是否足够大且多样化，还是当前示例具有特殊性？

主要发现

• 本文构造了具有 $Σ\text{pin}(7)$-holonomy 的紧致 8-流形，共实现 14 组不同的贝蒂数，包括 $b^4 = 11,662$ 的例子，显著高于通过环面 orbifold 解析得到的结果。
• 通过 Calabi-Yau 4-orbifolds 构造的 $Σ\text{pin}(7)$-流形的中间贝蒂数 $b^4$ 可达 11,662，表明其‘地理’结构远比以往所知的更为广阔。
• 对于 $G_2$-流形，当 $\pi_1(M)$ 有限时，其具有 $G_2$-holonomy 的度量模空间是光滑的，维数为 $b^3(M)$。
• 最终度量的 holonomy 群取决于子群 $\mathbb{Z}_2 \ltimes \mathop{\rm SU}(4)$ 在 $\mathop{\rm Spin}(7)$ 中的包含方式，不同包含方式导致不同的 holonomy 群。
• 当组合具有不同 holonomy 子群的分量时，总 holonomy 可为 $\mathop{\rm Spin}(7)$，展示了实现完整例外 holonomy 的机制。
• 通过 Calabi-Yau 4-orbifolds 构造的 $Σ\text{pin}(7)$-流形具有 $b^2 = 0$，$b^3 = 0$，且 $b^4 = 910$，$1294$，$2446$，$4750$，展示了广泛的拓扑类型。