[论文解读] The holonomy of gerbes with connections

Marco Mackaay, Roger Picken|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本文提出了一种利用高阶规范理论计算纤维丛与联络的全纯性的新框架，将全息性概念从主丛推广至高阶丛。该研究建立了一个基于曲率的一致全息映射，可对具有联络的纤维丛进行等价类分类，为高阶规范理论提供了一个拓扑不变量。

ABSTRACT

Consiglio Nazionale delle Ricerche - Biblioteca Centrale - P.le Aldo Moro, 7 Rome / CNR - Consiglio Nazionale delle Richerche

研究动机与目标

• 将全息性的概念从主丛推广至具有联络的纤维丛。
• 为纤维丛定义一个尊重曲率与规范等价性的统一全息映射。
• 利用全息性不变量对具有联络的纤维丛进行分类。
• 为高阶规范理论提供一个几何与拓扑框架。

提出的方法

• 利用高阶规范理论，通过2-联络上的平行移动，为具有联络的纤维丛定义全息性。
• 应用曲率形式与高阶全息性不变量，以表征纤维丛的等价性。
• 采用微分上同调与Deligne上同调，将全息性与特征类关联。
• 引入一个从具有联络的纤维丛空间到取值于U(1)的环路群的全息映射。
• 依赖于对二维曲面积分微分形式以计算全息性。
• 建立在规范变换下的一致性以及全息性的同伦不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非线丛情形下，一致地定义具有联络的纤维丛的全息性？
• RQ2 曲率在决定纤维丛全息性中起什么作用？
• RQ3 全息映射如何对具有联络的纤维丛进行等价类分类？
• RQ4 具有联络的纤维丛的全息性会产生哪些拓扑不变量？
• RQ5 该全息性构造能否推广至更高阶纤维丛或更高阶规范理论？

主要发现

• 具有联络的纤维丛的全息性是良好定义的，并且在规范变换下保持不变。
• 全息映射为具有联络的纤维丛提供了分类不变量，可将其按等价类分类。
• 纤维丛的曲率通过在2-循环上积分决定全息性。
• 全息映射可分解为纤维丛的Deligne上同调类。
• 该构造与2阶Deligne上同调中的已知结果一致。
• 全息不变量可区分具有相同曲率但不等价的纤维丛。