[论文解读] Construction and Analysis of an HDG Method for Incompressible Magnetohydrodynamics

Jeonghun J. Lee, Stephen Shannon+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于新型HDG数值通量（源自对偶鞍点形式）的混合间断伽辽金（HDG）方法，用于求解定常线性化不可压缩磁流体动力学（MHD）方程。该方法在二维和三维单纯形网格上实现了对流体速度和磁场变量的最优收敛率，对其他变量实现了次优收敛率，通过先验误差分析和数值实验得到验证。

ABSTRACT

We present a hybridized discontinuous Galerkin (HDG) method for stationary linearized incompressible magnetohydrodynamics (MHD) equations. At the heart of the paper is the introduction of an HDG flux of the dual saddle-point form of the MHD equations that facilitates the hybridization of discontinuous Galerkin (DG) method. We carry out the $ extit{a priori}$ error estimates for the proposed HDG method on simplicial meshes in both two- and three-dimensions. The analysis provides optimal convergence for the fluid velocity and the magnetic variables, and quasi-optimal convergence for the remaining quantities. Numerical examples are presented to verify the theoretical findings.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且精确的数值方法，用于求解定常线性化不可压缩磁流体动力学（MHD）方程。
• 通过在对偶鞍点形式中引入新型HDG通量，将混合间断伽辽金（HDG）框架扩展至MHD系统。
• 在二维和三维的单纯形网格上，为所提出的HDG方法建立严格的先验误差估计。
• 通过二维和三维区域上的数值实验，验证理论收敛速率。

提出的方法

• 该方法采用基于线性化MHD方程对偶鞍点形式的混合间断伽辽金（HDG）弱形式。
• 引入一种新型HDG数值通量，以实现混合化，从而在保持稳定性和精度的同时减少全局自由度。
• 该公式化方法适用于二维和三维的单纯形网格，支持灵活且局部质量守恒的近似。
• 通过在单元界面处引入迹未知量，将全局系统解耦，从而支持高效的求解策略。
• 基于拟合单纯形三角剖分上的函数分析与逼近理论，推导出先验误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否成功地为线性化不可压缩MHD方程构建一种混合间断伽辽金方法？
• RQ2 在二维和三维设置下，HDG方法对流体速度、磁场及其他变量的收敛速率如何？
• RQ3 所提出的HDG通量是否能确保所有解分量的最优或次优收敛？
• RQ4 理论误差估计与单纯形网格上的数值结果相比如何？

主要发现

• 在二维和三维空间中，HDG方法对流体速度和磁场变量均实现了最优收敛率。
• 压力和磁势变量获得了次优收敛率，与理论分析预测一致。
• 先验误差估计经过严格推导，并通过单纯形网格上的数值实验得到验证。
• 数值示例证实了在不同多项式阶次和网格类型下，理论收敛行为的一致性。