[论文解读] Construction and sharp consistency estimates for atomistic/continuum coupling methods with general interfaces: a 2D model problem

Christoph Ortner, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2011

Microstructure and mechanical properties参考文献 13被引用 12

一句话总结

本论文提出了一种基于几何重构的原子/连续体耦合（a/c）方法，用于具有近邻多体相互作用的二维三角晶格。证明了对于包括拐角在内的任意界面几何形状，均可实现修补试验一致性，并在界面处建立一阶一致性，在连续体内部实现二阶一致性——将最优的一维结果推广至二维。

ABSTRACT

We present a new variant of the geometry reconstruction approach for the formulation of atomistic/continuum coupling methods (a/c methods). For multi-body nearest-neighbour interactions on the 2D triangular lattice, we show that patch test consistent a/c methods can be constructed for arbitrary interface geometries. Moreover, we prove that all methods within this class are first-order consistent at the atomistic/continuum interface and second-order consistent in the interior of the continuum region.

研究动机与目标

• 开发一种适用于具有任意界面几何形状（包括拐角）的二维多体相互作用的原子/连续体耦合方法，以实现一致性。
• 克服先前方法的局限性，这些方法要求界面具有高对称性或施加不自然的连接性假设。
• 为所提方法建立精确的一致性误差估计，避免因非局部项导致收敛速率下降。
• 通过构建具有自由参数的几何重构方法变体，将最优的一维一致性结果推广至二维。
• 为高维空间和复杂几何形状下基于几何重构的a/c方法建立一般理论奠定基础。

提出的方法

• 提出一种在原子/连续体界面处具有自由参数的几何重构（GR-AC）方法的新变体。
• 在界面处使用修改后的格点势能，其中参数通过满足能量和力一致性（修补试验）条件进行拟合。
• 采用二维三角晶格的标准三角剖分以定义局部应力和变形度量。
• 推导出原子模型与a/c模型在三角形单元中应力差的显式公式，从而实现精确的误差分析。
• 构造一个校正函数，以确保在单元边界处边缘贡献的抵消，从而实现全局一致性。
• 对所有可能的拐角构型（按对称性分类）进行局部分析，证明该方法在各种界面几何形状下的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二维多体相互作用中包括拐角在内的任意界面几何形状构造修补试验一致的a/c方法？
• RQ2 能否在不引入非局部项或人为连接性假设的前提下，对一致性误差进行精确的上界估计？
• RQ3 对于一般界面，是否可能在连续体区域实现二阶一致性、在界面处实现一阶一致性？
• RQ4 能否系统地拟合几何重构方法中的自由参数，以满足能量和力一致性条件？
• RQ5 所提方法是否在所有界面构型（包括凸角和凹角）下均保持最优收敛速率？

主要发现

• 对于具有近邻多体相互作用的二维三角晶格，可以为任意界面几何形状（包括拐角）构造修补试验一致的a/c方法。
• 所提方法类中的所有方法在原子/连续体界面处均实现一阶一致性，在连续体区域内部实现二阶一致性。
• 每个三角形单元中的应力误差被显式计算，并通过重构参数的利普希茨控制证明其有界。
• 该方法的一致性被证明是局部且与几何无关的，仅依赖于分离性假设（假设3.4），且对所有按对称性分类的拐角构型均成立。
• 显式构造了校正函数，确保边缘贡献的抵消，从而实现全局一致性。
• 结果将最优的一维一致性估计（来自[10]）推广至二维，为基于GR-AC方法的一般理论奠定了基础步骤。