[论文解读] Construction of analysis-suitable $G^1$ planar multi-patch parameterizations

Mario Kapl, Giancarlo Sangalli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2017

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出一种方法，用于从给定的初始 C0 多元贴片几何结构构建适用于分析的 G1（AS-G1）平面多贴片参数化。通过求解具有线性约束的二次优化问题，该方法生成的 AS-G1 参数化能够匹配边界、顶点以及顶点处的一阶导数，同时尽可能接近原始几何结构——在数值测试中表现出最优的 h-收敛性。

ABSTRACT

Isogeometric analysis allows to define shape functions of global $C^{1}$ continuity (or of higher continuity) over multi-patch geometries. The construction of such $C^{1}$-smooth isogeometric functions is a non-trivial task and requires particular multi-patch parameterizations, so-called analysis-suitable $G^{1}$ (in short, AS-$G^{1}$) parameterizations, to ensure that the resulting $C^{1}$ isogeometric spaces possess optimal approximation properties, cf. [7]. In this work, we show through examples that it is possible to construct AS-$G^{1}$ multi-patch parameterizations of planar domains, given their boundary. More precisely, given a generic multi-patch geometry, we generate an AS-$G^{1}$ multi-patch parameterization possessing the same boundary, the same vertices and the same first derivatives at the vertices, and which is as close as possible to this initial geometry. Our algorithm is based on a quadratic optimization problem with linear side constraints. Numerical tests also confirm that $C^{1}$ isogeometric spaces over AS-$G^{1}$ multi-patch parameterized domains converge optimally under mesh refinement, while for generic parameterizations the convergence order is severely reduced.

研究动机与目标

• 开发一种实用方法，用于为平面区域构建适用于分析的 G1（AS-G1）多贴片参数化。
• 确保生成的参数化保留初始 C0 多贴片几何结构的边界、顶点以及顶点处的一阶导数。
• 生成尽可能接近初始几何结构的 AS-G1 参数化，同时满足 AS-G1 约束条件。
• 通过数值验证，C1 等几何空间在 AS-G1 参数化上可实现最优的 h-收敛率。
• 展示尽管对扰动敏感，AS-G1 几何结构构建仍具有灵活性和可行性。

提出的方法

• 将 AS-G1 参数化的构建表述为带有线性等式约束的二次优化问题。
• 以初始 C0 多贴片参数化为起点，保留其边界、顶点以及顶点处的一阶导数。
• 施加基于贴片界面处几何连续性条件推导出的 AS-G1 约束。
• 使用符号计算数值求解优化问题，以应对约束的敏感性，确保精度。
• 逐贴片构建参数化，通过 AS-G1 条件确保界面处的 C1 光滑性。
• 未来工作中采用具有小局部支撑的基函数，以改善条件条件并降低敏感性。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅根据其边界，能否为任意平面多贴片区域构建 AS-G1 多贴片参数化？
• RQ2 AS-G1 约束在多大程度上限制了最终参数化与初始几何结构的质量和接近程度？
• RQ3 AS-G1 参数化是否能保证在等几何分析中实现最优的 h-收敛率？
• RQ4 AS-G1 约束对微小扰动的敏感性如何？是否可通过基函数设计加以缓解？
• RQ5 所提出的方法能否扩展至体积分割或多面体表面的多贴片区域？

主要发现

• 所提方法成功生成了在视觉上与初始 C0 几何结构无法区分的 AS-G1 多贴片参数化，同时满足所有必需的连续性约束。
• 数值实验表明，基于 AS-G1 参数化的 C1 等几何空间在 L2-范数下实现了最优的 O(h⁴) 收敛率。
• 相比之下，通用的 C0 参数化表现出严重的收敛性降低，L2-范数下的收敛率低至 O(h¹/²)，且在 L∞-范数下无收敛性。
• AS-G1 约束并未阻碍高质量参数化的构建，表明在几何设计中具有显著的灵活性。
• 即使初始几何结构本身并非 AS-G1，该方法在多个测试案例（包括汽车、拼图块和变形圆）中仍表现出鲁棒性和有效性。
• 由于 AS-G1 约束对数值扰动高度敏感，符号计算至关重要。