[论文解读] Construction of Maurer-Cartan elements over configuration spaces of curves

Benjamin Enriquez, Federico Zerbini|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过在 $C^n$ 上的主丛上平凡化一个亚纯平坦联络，构造了复曲线配置空间上的Maurer-Cartan元素，将Levin和Racinet的工作推广到高亏格曲线。关键结果是用迭代积分和Poincaré留数显式表示Maurer-Cartan元素 $\boldsymbol{J}$ 的公式，低度表达式通过Schottky形式体系和群胚态射推导得出。

ABSTRACT

For $C$ a complex curve and $n \geq 1$, a pair $(\mathcal{P}, abla_\mathcal{P})$ of a principal bundle $\mathcal{P}$ with meromorphic flat connection over $C^n$, holomorphic over the configuration space $C_n(C)$ of $n$ points over $C$, was introduced in arXiv:1112.0864. For any point $\infty \in C$, we construct a trivialisation of the restriction of $\mathcal{P}$ to $(C\setminus\infty)^n$ and obtain a Maurer-Cartan element $J$ over $C_n(C\setminus\infty)$ out of $ abla_\mathcal{P}$, thus generalising a construction of Levin and Racinet when the genus of $C$ is higher than one. We give explicit formulas for $J$ as well as for $ abla_\mathcal{P}$. When $n=1$, this construction gives rise to elements of Hain's space of second kind iterated integrals over $C$.

研究动机与目标

• 将Levin与Racinet在亏格一曲线上的Maurer-Cartan元素构造方法推广至更高亏格的曲线配置空间。
• 在 $C^n$ 上的主丛 $\mathcal{P}$ 上定义一个亚纯平坦联络 $\nabla_{\mathcal{P}}$，其在配置空间 $C_n(C)$ 上为全纯。
• 通过Schottky形式体系在 $(C\setminus\infty)^n$ 上平凡化 $\mathcal{P}$，并从联络构造Maurer-Cartan元素 $\boldsymbol{J}$。
• 以Poincaré留数和群胚态射为基准，给出 $\boldsymbol{J}$、$\nabla_{\mathcal{P}}$ 以及相关形式 $\boldsymbol{K}$、$I$ 和 $\lambda$ 的显式公式。
• 证明当 $n=1$ 时，该构造所得元素属于Hain的第二类迭代积分空间，从而与经典多 polylogarithmic 结构建立联系。

提出的方法

• 利用黎曼曲面 $C$ 的Schottky覆叠 $\hat{C}$ 定义基本域，并分析单值性与 holonomy。
• 通过由Poincaré留数导出的取值于李代数的1-形式 $\boldsymbol{\Lambda}$，构造群胚态射 $F_{\boldsymbol{\Lambda}}: \Pi_1(C\setminus\infty) \to \mathrm{exp}(\hat{\mathfrak{G}})$。
• 引入1-形式 $\boldsymbol{K}$ 作为关键构建模块，通过迭代积分定义，并分解为单值与多值部分。
• 利用 $\mathcal{P}$ 的平凡化与路径有序指数，从联络 $d + \boldsymbol{J}$ 推导出Maurer-Cartan元素 $\boldsymbol{J}_{\tilde{x},\boldsymbol{\beta}}$。
• 使用映射 $\Psi$ 和 $\Psi_{\hat{\infty}}$ 将多值形式分解为单值部分，从而实现显式计算。
• 应用对数导数 $I = gd(g^{-1})$ 及其低度展开式 $\lambda = \log(g)$，将 $\boldsymbol{J}$ 计算至三度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在亏格 $g > 1$ 的复曲线上 $n$ 个点的配置空间上构造Maurer-Cartan元素？
• RQ2 联络 $\nabla_{\mathcal{P}}$ 及其关联的Maurer-Cartan元素 $\boldsymbol{J}$ 的显式公式是什么？其表达式如何通过微分形式与留数表示？
• RQ3 在 $(C\setminus\infty)^n$ 上对主丛 $\mathcal{P}$ 的平凡化如何导致一个在极点处无单值性的良好定义的 $\boldsymbol{J}$？
• RQ4 当 $n=1$ 时，所构造的 $\boldsymbol{J}$ 与Hain的第二类迭代积分空间之间有何关系？
• RQ5 如何利用Schottky形式体系与Poincaré留数理论分解多值1-形式，并显式计算 $\boldsymbol{J}$？

主要发现

• 本文通过在 $C^n$ 上的主丛上平凡化一个亚纯平坦联络 $\nabla_{\mathcal{P}}$，在 $C_n(C\setminus\infty)$ 上构造了Maurer-Cartan元素 $\boldsymbol{J}$，推广了Levin与Racinet在亏格一曲线上的构造。
• 当 $n=1$ 时，所得 $\boldsymbol{J}$ 属于Hain的第二类迭代积分空间，建立了与经典多 polylogarithmic 函数的联系。
• 利用Schottky形式体系、Poincaré留数以及映射 $\Psi_{\hat{\infty}}$ 与 $\mathrm{op}$，推导出 $\boldsymbol{J}[1]$、$\boldsymbol{J}[2]$ 与 $\boldsymbol{J}[3]$ 的显式低度公式。
• 通过 $\Psi_{\hat{\infty}}$ 将1-形式 $\boldsymbol{K}$ 分解为单值部分，从而借助对数导数 $I = gd(g^{-1})$ 实现 $\boldsymbol{J}$ 的计算。
• $\boldsymbol{J}[1]$ 的表达式为 $\sum_{i=1}^{h} \beta_i \otimes b_i + \sum_{i=1}^{h} \omega_i \otimes a_i$，其中 $\beta_i$ 与 $\omega_i$ 分别与同调基及全纯1-形式相关。
• 三度项 $\boldsymbol{J}[3]$ 涉及结构常数 $[h+i,h+j,h+k|r]$ 与Poincaré留数的组合，其贡献来自 $\Psi_{\hat{\infty}}$ 与对合 $\mathrm{op}$，确保了单值性与无单值性。