[论文解读] Construction of schemoids from posets

Yasuhide Numata|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2016

semigroups and automata theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文通过定义从偏序集（poset）出发的小范畴，并基于序关系与秩函数分配态射，构建了 schemoid 结构。证明了在合适的标记映射下，所得范畴构成 schemoid，并将其 schemoid 代数构造为由并运算与秩可加性导出关系的商环，从而推广了关联方案的 Bose–Mesner 代数。

ABSTRACT

A schemoid is a generalization of association schemes from the point of view of small categories. In this article, we discuss schemoid structures for two kinds of small categories; the canonical small category defined by a poset, and another small category which arises a poset. We also discuss the schemoid algebra, that is an analogue of the Bose--Mesner algebra for an association scheme, for them.

研究动机与目标

• 通过将范畴框架扩展至偏序集，以 schemoids 推广关联方案。
• 从偏序集定义一个支持 schemoid 结构的典范小范畴。
• 将 schemoid 代数构造为该类 schemoids 的 Bose–Mesner 代数类比。
• 建立态射复合与标记满足 schemoid 公理所要求的基数一致性条件的充分条件。

提出的方法

• 从偏序集 $P$ 构造一个小范畴 $\tilde{P}$，其中仅当 $y = x \vee d$ 且 $x \cap d = \emptyset$ 时存在态射 $f^d_{x,y}$，且 $\rho$ 为秩函数。
• 通过 $\ell(f^d_{x,y}) = d$ 定义标记映射 $\ell: \operatorname{Mor}(\tilde{P}) \to P$，将态射划分为纤维。
• 验证 schemoid 条件：对任意 $\sigma, \tau, \mu \in \ell^{-1}(P)$，满足 $f \circ g \in \mu$ 的可复合对 $(f,g)$ 的数量在所有 $h,k \in \mu$ 中保持恒定，利用秩可加性 $\rho(x \vee d) = \rho(x) + \rho(d)$。
• 将 schemoid 代数定义为商环 $R_P = \mathbb{K}[X_x \mid x \in P]/I$，其中 $I$ 由关系生成：若 $\rho(x \vee y) = \rho(x) + \rho(y)$，则 $X_x X_y = X_{x \vee y}$；否则 $X_x X_y = 0$。
• 通过证明乘法规则与复合基数条件一致，证明 schemoid 代数同构于 $R_P$。
• 通过示例说明构造过程：布尔格、有限域上向量空间的子空间，以及拟阵的平面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，偏序集 $P$ 可在其关联的小范畴 $\tilde{P}$ 上定义 schemoid 结构？
• RQ2 标记映射 $\ell(f^d_{x,y}) = d$ 如何确保态射复合的 schemoid 条件？
• RQ3 基于偏序集的 schemoid 所关联的 schemoid 代数具有何种结构，其与 Möbius 代数等已知代数的关系如何？
• RQ4 该 schemoid 代数构造能否恢复 Maeno–Numata 所研究的拟阵中的已知代数？
• RQ5 秩函数与并运算如何影响 schemoid 代数的代数结构？

主要发现

• 当 $\ell(f^d_{x,y}) = d$ 且对所有满足 $x \cap d = \emptyset$ 的 $x,d$ 有 $\rho(x \vee d) = \rho(x) + \rho(d)$ 时，三元组 $(\tilde{P}, P, \ell)$ 构成 schemoid。
• schemoid 代数同构于商环 $R_P = \mathbb{K}[X_x \mid x \in P]/I$，其中 $I$ 由关系生成：若 $\rho(x \vee y) = \rho(x) + \rho(y)$，则 $X_x X_y = X_{x \vee y}$；否则 $X_x X_y = 0$。
• 对于 $n$-阶布尔格 $2^{[n]}$，schemoid 代数对应于满足 $x \cap y = \emptyset$ 时 $X_x X_y = X_{x \cup y}$，否则 $X_x X_y = 0$ 的偏序集代数。
• 对于有限维向量空间在有限域上的子空间构成的偏序集，schemoid 代数与满足 $V \cap W = 0$ 的态射 $f^W_{V,V \oplus W}$ 的结构一致，代数关系反映了直和的秩可加性。
• 对于满足条件的拟阵的平面构成的偏序集，schemoid 代数同构于 Möbius 代数，其中所有生成元满足 $x_i^2 = 0$，如 Maeno–Numata 所定义。
• 该构造通过用基于秩与并运算的偏序集组合结构替代群对称性，推广了 Bose–Mesner 代数。