[论文解读] Constructions of L$_{\infty}$ algebras and their field theory realizations

Olaf Hohm, Vladislav Kupriyanov+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 26被引用 6

一句话总结

该论文从任意不满足雅克比恒等式的反对称括号构造 L∞ 代数，证明了任意向量空间 V 上的此类括号均可扩展为在 V ⊕ V* 上的 2-项 L∞ 代数，其中 3-括号编码雅克比子（Jacobiator）。关键贡献是一般性定理：若雅克比子落在定义理想的线性映射的像中，则存在一个非平凡的 3-项 L∞ 代数，其 4-括号非零，从而实现真正的场论实现实例——通过八元数、R-通量代数和柯朗代数等例子得以验证。

ABSTRACT

We construct L$_{\infty}$ algebras for general `initial data' given by a vector space equipped with an antisymmetric bracket not necessarily satisfying the Jacobi identity. We prove that any such bracket can be extended to a 2-term L$_{\infty}$ algebra on a graded vector space of twice the dimension, with the 3-bracket being related to the Jacobiator. While these L$_{\infty}$ algebras always exist, they generally do not realize a non-trivial symmetry in a field theory. In order to define L$_{\infty}$ algebras with genuine field theory realizations, we prove the significantly more general theorem that if the Jacobiator takes values in the image of any linear map that defines an ideal there is a 3-term L$_{\infty}$ algebra with a generally non-trivial 4-bracket. We discuss special cases such as the commutator algebra of octonions, its contraction to the `R-flux algebra', and the Courant algebroid.

研究动机与目标

• 建立任意向量空间上反对称括号扩展为 L∞ 代数的一般条件。
• 解决通用 L∞ 扩展因规范作用平凡而无法实现非平凡场论实现的局限性。
• 识别构造具有非平凡高阶括号（如 ℓ₄）的 L∞ 代数的充分条件，以实现场论中的真实规范对称性。
• 提供显式构造与实例，包括八元数换位子代数、R-通量代数和柯朗代数，以说明一般定理。

提出的方法

• 在分次向量空间 X₁ ⊕ X₀ 上构造 2-项 L∞ 代数，其中 X₀ = V，X₁ = V*，使用原始括号作为 ℓ₂，雅克比子作为 ℓ₃。
• 通过同构 V* → V 定义微分 ℓ₁: X₁ → X₀，确保满足 n=1 时的 L∞ 公理。
• 利用原始括号的结合子定义 ℓ₃，其编码括号不满足雅克比恒等式的程度。
• 通过构造证明 ℓ₁、ℓ₂、ℓ₃ 的广义雅克比恒等式成立，从而为任意初始括号建立 2-项 L∞ 结构。
• 引入更一般的构造：当雅克比子取值于定义理想的线性映射的像时，可构造具有非平凡 ℓ₄ 的 3-项 L∞ 代数。
• 验证在相同分次空间上 A∞ 代数构造的一致性，表明任意非结合代数可嵌入到满足所有 A∞ 公理且 m₄ ≡ 0 的 A∞ 代数中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，向量空间上的任意反对称括号可扩展为 2-项 L∞ 代数？
• RQ2 为何通用 L∞ 扩展尽管满足代数公理，却无法实现场论中非平凡规范对称性？
• RQ3 雅克比子满足何种结构条件，可保证存在具有非零 4-括号的 3-项 L∞ 代数？
• RQ4 八元数换位子代数能否嵌入到具有场论实现实例的非退化 L∞ 代数中？
• RQ5 已知的场论结构如柯朗括号和 R-通量代数如何融入这一通用 L∞ 框架？

主要发现

• 任意向量空间 V 上的反对称括号均可扩展为 X = V ⊕ V* 上的 2-项 L∞ 代数，其中 3-括号编码雅克比子，证明此类扩展始终存在。
• 所得 2-项 L∞ 代数通常无法非平凡地扩展至 X₋₁，意味着由于规范作用平凡，无法实现场论中的非平凡实现。
• 若雅克比子取值于定义理想之线性映射的像，则存在一个非平凡的 3-项 L∞ 代数，其 4-括号非零。
• R-通量代数的雅克比子像为 1 维，其最小 L∞ 实现为 8 维，其中 X₁ 为 1 维，确认其具有场论实现的潜力。
• 该构造为八元数换位子代数提供了最小 14 维 L∞ 代数，但该结构不可扩展，因此无法在场论中实现场非平凡规范对称性。
• A∞ 代数构造将任意非结合代数嵌入到分次代数中，满足所有 A∞ 公理且 m₄ ≡ 0，为 L∞ 构造提供了对偶视角。