[论文解读] General constructions of L$_{\infty}$ algebras

Olaf Hohm, Vladislav Kupriyanov+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2017

Advanced Topics in Algebra被引用 1

一句话总结

该论文从任意不满足雅克比恒等式的反对称括号构造 L$_\infty$ 代数，表明任何此类括号均可扩展为一个 2-项 L$_\infty$ 代数，其中 3-括号编码雅克比子（Jacobiator）。此外，当雅克比子落在定义理想的线性映射的像中时，证明了 3-项 L$_\infty$ 代数的一般存在性结果，从而产生非平凡的 4-括号，该方法在八元数、R-通量代数和柯朗代数纤维丛中有应用。

ABSTRACT

We construct L$_{\infty}$ algebras for general `initial data' given by a vector space equipped with an antisymmetric bracket not necessarily satisfying the Jacobi identity. We prove that any such bracket can be extended to a 2-term L$_{\infty}$ algebra on a graded vector space of twice the dimension, with the 3-bracket being related to the Jacobiator. We then prove the significantly more general theorem that if the Jacobiator takes values in the image of any linear map that defines an ideal there is a 3-term L$_{\infty}$ algebra with a generally non-trivial 4-bracket. We discuss special cases such as the commutator algebra of octonions, its contraction to the `R-flux algebra', and the Courant algebroid.

研究动机与目标

• 将 L$_\infty$ 代数的构造方法推广至初始数据为一个向量空间上具有反对称括号但未必满足雅克比恒等式的结构。
• 解决当雅克比子非零时，将此类括号扩展为一致的 L$_\infty$ 结构的挑战。
• 基于雅克比子的像，建立存在具有非平凡高阶括号的 3-项 L$_\infty$ 代数的一般判据。
• 通过八元数的交换子代数、其 R-通量形变以及柯朗代数纤维丛等物理和代数结构，展示该构造的适用性。

提出的方法

• 在原始维度两倍的分次向量空间上定义一个 2-项 L$_\infty$ 代数，其中 3-括号由初始括号的雅克比子显式构造。
• 利用定义理想的线性映射的像作为雅克比子的目标，以实现扩展为具有非平凡 4-括号的 3-项 L$_\infty$ 代数。
• 通过雅克比恒等式的失败以及雅克比子的像条件，递归构造高阶括号（3-元和 4-元）。
• 通过验证高阶括号满足广义雅克比恒等式（同伦意义下），验证 L$_\infty$ 关系。
• 将一般构造应用于具体例子，包括八元数的交换子代数及其通过收缩得到的 R-通量代数。
• 通过导出括号形式，将所得的 L$_\infty$ 结构与已知的几何对象（如柯朗代数纤维丛）联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何在向量空间上定义的反对称括号（即使不满足雅克比恒等式）是否都能扩展为一致的 L$_\infty$ 代数？
• RQ2 在何种条件下，雅克比子可允许构造具有非平凡 4-括号的 3-项 L$_\infty$ 代数？
• RQ3 定义理想的线性映射的像如何与 L$_\infty$ 代数中高阶括号的存在性相关？
• RQ4 雅克比子在决定所得 L$_\infty$ 代数结构中起什么作用？
• RQ5 该一般构造是否可应用于物理上相关的代数，如八元数交换子代数或 R-通量代数？

主要发现

• 任何在向量空间上的反对称括号均可扩展为一个分次向量空间上维度为原空间两倍的 2-项 L$_\infty$ 代数。
• 在 2-项构造中，3-括号由初始括号的雅克比子显式确定。
• 若雅克比子的取值落在定义理想的线性映射的像中，则存在一个具有非平凡 4-括号的 3-项 L$_\infty$ 代数。
• 当雅克比子不恒为零且落在指定像中时，该构造产生非平凡的 4-括号。
• 该方法适用于八元数的交换子代数，生成一个具有非平凡高阶括号的 3-项 L$_\infty$ 代数。
• R-通量代数作为八元数 L$_\infty$ 结构的收缩而出现，证实了其一致的 L$_\infty$ 表述。