[论文解读] Constructions of Optimal and Near-Optimal Multiply Constant-Weight Codes

Yeow Meng Chee, Han Mao Kiah+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Physical Unclonable Functions (PUFs) and Hardware Security参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了最优及近似最优多重常重码（MCWCs）的组合构造方法，证明了对于固定权重和距离，Johnson型上界在渐近意义上是紧致的。通过引入广义打包设计，完全确定了总权重为四、距离为四的最优MCWC大小；并利用可分解BIBD与乘积构造方法，构建了每部分权重为二或三的无限组最优MCWCs。

ABSTRACT

Multiply constant-weight codes (MCWCs) have been recently studied to improve the reliability of certain physically unclonable function response. In this paper, we give combinatorial constructions for MCWCs which yield several new infinite families of optimal MCWCs. Furthermore, we demonstrate that the Johnson type upper bounds of MCWCs are asymptotically tight for fixed weights and distances. Finally, we provide bounds and constructions of two dimensional MCWCs.

研究动机与目标

• 构建小权重与小距离下的无限组最优及近似最优多重常重码（MCWCs）。
• 利用广义打包设计，完全确定总权重为四、最小距离为四的MCWC最大大小。
• 证明MCWCs中固定权重与距离下，Johnson型上界在渐近意义下是紧致的。
• 引入并分析具有行与列权重约束的二维MCWCs，提供上界与构造方法。
• 通过将现有MCWC结果的上界渐近紧致性从常数因子改进为精确渐近等价，实现扩展。

提出的方法

• 利用最近由Bailey和Burgess研究的广义打包设计，对总权重为四的MCWCs进行建模与分析。
• 应用乘积构造方法，通过垂直或水平拼接码字，将小规模最优二维MCWCs扩展为更大规模的最优码。
• 利用α-可分解平衡不完全区组设计（BIBDs）构造最优二维MCWCs，其中参数由区组设计的存在性条件推导得出。
• 采用分数匹配定理（Kahn, 2001），证明MCWCs的Johnson型上界在固定权重与距离下渐近紧致。
• 提出具有行与列权重约束的二维MCWCs概念，将其建模为导出正则打包（DRPs）。
• 基于DRP参数，利用组合不等式推导二维MCWCs最大大小的上界，并用于验证最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 总权重为四、最小距离为四的MCWC最大大小是多少？
• RQ2 能否为每部分权重为二或三、最小距离为四的MCWCs构造无限组最优码？
• RQ3 MCWCs的Johnson型上界在固定权重与距离下是否渐近紧致？
• RQ4 给定行与列权重下，最优二维MCWCs存在的必要与充分条件是什么？
• RQ5 如何利用乘积构造与可分解BIBDs，从更小的最优码生成最优二维MCWCs？

主要发现

• 利用广义打包设计，完全确定了总权重为四、最小距离为四的MCWCs最大大小，仅剩一个小型未解决情况。
• 通过大规模最优打包集与乘积技术，构造了每部分权重为二或三、最小距离为四的无限组最优MCWCs。
• MCWCs的Johnson型上界在固定权重与距离下渐近紧致，优于以往仅证明紧致性至常数因子的结果。
• 特定参数下α-可分解BIBDs的存在性，意味着对应行与列权重下最优二维MCWCs的存在性。
• 阶为 $ n $ 的拉丁方达到上界 $ M(n,n,2n,1,1) = n $，证实该类二维MCWCs的最优性。
• 当在垂直或水平方向拼接码字时，乘积构造保持最优性，从而可将最优码扩展至更大参数。