[论文解读] Constructions of Optimal Cyclic $(r,δ)$ Locally Repairable Codes

Bin Chen, Shu‐Tao Xia+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Advanced Data Storage Technologies参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文为整除 $q-1$ 和 $q+1$ 的长度构造了最优的 $q$-元循环 $(r,\delta)$ 局部修复码（LRCs），推广了先前关于 $r$-局部 LRCs 的工作。通过利用 Reed-Solomon 码和 Berlekamp-Justesen 码的零点结构，作者提出了新构造方法，实现了类似 Singleton 的界，针对 $n \mid q+1$ 和 $δ \geq 2$ 的情况给出了显式参数集，包括长度为 $q+1$ 的码，其在 $d > 4$ 时达到目前已知的最佳参数。关键贡献在于提出了一种系统性方法，构建超出 $n \mid q-1$ 情况的最优循环 LRCs，扩展了高效分布式存储中已知的参数空间。

ABSTRACT

A code is said to be a $r$-local locally repairable code (LRC) if each of its coordinates can be repaired by accessing at most $r$ other coordinates. When some of the $r$ coordinates are also erased, the $r$-local LRC can not accomplish the local repair, which leads to the concept of $(r,δ)$-locality. A $q$-ary $[n, k]$ linear code $\cC$ is said to have $(r, δ)$-locality ($δ\ge 2$) if for each coordinate $i$, there exists a punctured subcode of $\cC$ with support containing $i$, whose length is at most $r + δ- 1$, and whose minimum distance is at least $δ$. The $(r, δ)$-LRC can tolerate $δ-1$ erasures in total, which degenerates to a $r$-local LRC when $δ=2$. A $q$-ary $(r,δ)$ LRC is called optimal if it meets the Singleton-like bound for $(r,δ)$-LRCs. A class of optimal $q$-ary cyclic $r$-local LRCs with lengths $n\mid q-1$ were constructed by Tamo, Barg, Goparaju and Calderbank based on the $q$-ary Reed-Solomon codes. In this paper, we construct a class of optimal $q$-ary cyclic $(r,δ)$-LRCs ($δ\ge 2$) with length $n\mid q-1$, which generalizes the results of Tamo \emph{et al.} Moreover, we construct a new class of optimal $q$-ary cyclic $r$-local LRCs with lengths $n\mid q+1$ and a new class of optimal $q$-ary cyclic $(r,δ)$-LRCs ($δ\ge 2$) with lengths $n\mid q+1$. The constructed optimal LRCs with length $n=q+1$ have the best-known length $q+1$ for the given finite field with size $q$ when the minimum distance is larger than $4$.

研究动机与目标

• 将最优 $r$-局部 LRCs 的构造推广至更一般的 $(r,\delta)$-局部性模型，其中 $δ \geq 2$。
• 为整除 $q+1$ 的码长，开发新的最优 $q$-元循环 LRCs 构造方法，此前在最优循环设置下尚未被探索。
• 利用有限域上的循环码结构，实现 $(r,\delta)$-LRCs 的广义 Singleton 类似界。
• 为长度 $n = q+1$ 的最优循环 LRCs 提供显式构造，当 $d > 4$ 时，其长度达到给定 $q$ 的最佳已知值。
• 探索在 $n \mid q-1$ 情况之外最优循环 LRCs 的存在性与结构，填补了文献中的空白。

提出的方法

• 将 Tamo 等人用于构造 $n \mid q-1$ 情况下最优循环 $(r,\delta)$-LRCs 的 Reed-Solomon 码零点结构进行推广。
• 利用循环码的零点定义集，特别选择集合 $D$ 和 $L_m$，以确保局部性和最小距离约束。
• 构造定义集为 $D \cup (L_1 \cup L_{-1})$ 的循环码，其中 $L_m$ 是模 $n$ 的等差数列，以保证 $(r,\delta)$-局部性。
• 应用 Berlekamp-Justesen 码框架，为 $n \mid q+1$ 构造新的最优 $q$-元循环 $r$-局部与 $(r,\delta)$-局部 LRCs。
• 利用代数数论及 $φ_{q^2}$ 中本原 $n$ 次单位根的性质，确保码为循环码并满足类似 Singleton 的界。
• 基于 $k$、$r$、$δ$、$\mu$ 和 $q$、$\mu$、$\nu'$ 的奇偶性，设计依赖于参数的零点集 $D$，以控制码的维数与局部性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为整除 $q+1$ 的长度构造出最优循环 $(r,\delta)$-LRCs，超越已知的 $n \mid q-1$ 情况？
• RQ2 定义集零点的何种结构条件可确保循环码中同时满足最优距离与 $(r,\delta)$-局部性？
• RQ3 对于 $δ \geq 2$ 且 $d > 4$，长度为 $n = q+1$ 的最优循环 $(r,\delta)$-LRCs 是否存在？其参数为何？
• RQ4 如何将 Berlekamp-Justesen 码构造方法加以调整，以获得 $n \mid q+1$ 的最优循环 LRCs？
• RQ5 对于给定的 $q$、$k$、$r$ 和 $δ$，$q$-元最优循环 $(r,\delta)$-LRC 的最大可能长度 $n$ 是多少？

主要发现

• 作者构造了一类新的最优 $q$-元循环 $(r,\delta)$-LRCs，其长度满足 $n \mid q+1$，将已知结果从仅限于 $n \mid q-1$ 的情况进行了扩展。
• 当 $n = q+1$ 时，所构造的码在最小距离超过 4 的情况下，实现了给定有限域大小 $q$ 下的最佳已知长度。
• 针对 $n \mid q+1$ 的构造基于 Berlekamp-Justesen 码，涉及精心选择的具有等差数列结构的零点定义集。
• 本文将 Tamo 等人的 $r$-局部 LRCs 推广至 $(r,\delta)$-局部性，实现了 $δ \geq 2$ 时的广义 Singleton 类似界。
• 根据 $q$、$\mu$ 和 $\nu'$ 的奇偶性，提供了多个情况的显式构造，对应不同的零点集 $D$ 和局部性集 $L_m$。
• 结果表明，在特定参数条件下，$n \mid q+1$ 的最优循环 $(r,\delta)$-LRCs 存在，具体条件详见表 III。