[论文解读] Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs using Even Index Gauss Sums

Fan Wu|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过偶数索引高斯和推广了强正则Cayley图的构造，给出了此类图存在的充要条件。通过利用分圆类和子域性质，该文提出了三个新的强正则图无限族，将先前关于索引2和4的情形推广至更高偶数索引，包括对早期方法未涵盖的索引6情形的新型推广。

ABSTRACT

In this paper, generalizing the result in \cite{GXY}, we construct strongly regular Cayley graphs by using union of cyclotomic classes of $\F_q$ and Gauss sums of index $w$, where $w\geq 2$ is even. In particular, we obtain three infinite families of strongly regular graphs with new parameters.

研究动机与目标

• 将强正则Cayley图的构造方法从索引2和4推广至更高偶数索引（如6及以上）的高斯和。
• 建立一个并集由分圆类构成时生成强正则Cayley图的必要且充分条件。
• 将Schmidt-White猜想中的零星例子推广为无限族，特别是针对索引6及以上的例子。
• 揭示强正则Cayley图与(Z/p₁Z, +)中循环差集之间的结构联系。
• 提供一种直接构造方法，避免显式计算高索引高斯和，转而依赖子域成员关系。

提出的方法

• 推广先前工作，本文在F_q上通过偶数索引w ≥ 2的分圆类并集构造Cayley图。
• 提出一个关键条件（定理3.3）：基于高斯和性质，判断此类并集何时生成强正则图。
• 该方法依赖于分析高斯和的子域成员关系，而非显式计算，从而简化了高索引下的构造过程。
• 利用F_q上的标准加法特征ψ和乘法特征定义高斯和，并推导谱条件。
• 构造基于F_q*中指数为w的乘法子群D，满足D = -D，并通过索引w和素数幂p₁将这些子群与子域关联。
• 推论3.5建立了简化关系：若在F_{p^{f̃}}上的基础情形生成srg，则其在F_q上的提升构造也生成srg。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将使用高斯和构造强正则Cayley图的方法从索引2和4推广至更高偶数索引（如6或以上）？
• RQ2 对于偶数索引w的分圆类并集，生成强正则Cayley图的必要且充分条件是什么？
• RQ3 在构造中如何避免高索引高斯和的计算，同时仍能保证强正则性？
• RQ4 所生成的强正则图与(Z/p₁Z, +)中的循环差集之间是否存在结构联系？
• RQ5 能否利用该方法将Schmidt-White猜想中的零星例子（特别是索引6情形）推广为无限族？

主要发现

• 本文利用偶数索引高斯和构造了三个新的强正则Cayley图无限族，推广了已知的零星例子。
• 例4.1提供了一个新无限族，推广了Schmidt-White猜想表I中例5的情形，其参数由p=11, p₁=43, w=6导出。
• 例4.2通过在F_{5^f}上构造srg，推广了子域情形，其中在F_{5^3}上的基础图是子域srg，且D = F_5*。
• 例4.3在F_{2^f}上构造srg，其中w=18，且在F_{2^7}上的基础图是平凡srg，因为D = {1}，即素域的乘法群。
• 定理3.3提供了完整刻画：当且仅当满足特定高斯和与子域嵌入条件时，Cayley图才是强正则图。
• 结果揭示了强正则Cayley图与(Z/p₁Z, +)中循环差集之间深层联系，该联系由条件(3.16)和(3.17)编码。