[论文解读] Constructions with bundle gerbes

Stuart Johnson|ArXiv.org|Dec 9, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 31

一句话总结

本论文发展了丛丛（bundle gerbes）的理论，将其作为德利涅上同调类 $ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $ 的几何实现，引入了联络、曲率、holonomy（全息）与上拉（transgression）的构造。论文建立了高阶丛丛的层级结构，并展示了其在拓扑量子场论及物理作用量（如威斯-祖米诺-威滕理论与陈-西蒙斯理论）中的应用。

ABSTRACT

This thesis develops the theory of bundle gerbes and examines a number of useful constructions in this theory. These allow us to gain a greater insight into the structure of bundle gerbes and related objects. Furthermore they naturally lead to some interesting applications in physics.

研究动机与目标

• 在不使用层论构造的前提下，发展丛丛作为 $ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $ 中类的完整几何模型的理论。
• 将线丛的holonomy与平行移动概念推广至丛丛及高阶丛丛，将平行传输推广至高维对象。
• 探讨丛丛在理论物理中的几何与拓扑意义，特别是在威斯-祖米诺-威滕理论与陈-西蒙斯理论中的应用。
• 建立高阶几何结构（如丛2-丛与 $ U(1) $-群胚）的层级体系，将框架扩展至高维量子场论。
• 通过丛丛纤维作为模，实现公理化拓扑量子场论的几何实现，以群胚替代向量空间。

提出的方法

• 将丛丛构造为一个子mersion $ \pi: Y \to M $，并配备一个 $ U(1) $-丛 $ P \to Y^{[2]} $，其中 $ Y^{[2]} $ 为纤维积，且赋予结合的乘法结构。
• 引入丛丛联络与曲率，通过上同调复形 $ \underline{U(1)}_M \to \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) $ 定义德利涅上同调类 $ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $。
• 将丛丛的holonomy定义为从 $ M $ 中闭曲面到 $ U(1) $-值的赋值，将线丛的holonomy从1-形式推广至2-形式。
• 发展丛丛与丛2-丛的上拉公式，将环路空间上的holonomy与上拉丛上的联络联系起来。
• 通过证明威斯-祖米诺-威滕作用量自然源于丛丛holonomy，将该框架应用于物理理论。
• 通过以丛丛纤维的 $ U(1) $-群胚替代向量空间，扩展TQFT公理，将物理态定义为这些群胚的平凡化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不使用层论的前提下，系统地构造丛丛作为 $ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $ 中类的几何实现？
• RQ2 从 $ U(1) $-丛推广至丛丛与丛2-丛时，holonomy 与平行传输的推广形式为何？
• RQ3 丛丛的上拉公式如何与物理中的威斯-祖米诺-威滕理论与陈-西蒙斯作用量相关联？
• RQ4 能否通过以丛丛纤维导出的 $ U(1) $-群胚替代向量空间，推广拓扑量子场论的公理？
• RQ5 丛丛层级结构在构建具有群胚值模的高维量子场论中起何作用？

主要发现

• 丛丛提供了 $ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $ 的纯丛论实现，避免了格罗滕迪克-埃伦伯格理论中常用的层论构造。
• 丛丛的holonomy为基流形中每个闭曲面赋予一个 $ U(1) $-相位，将线丛holonomy从1-形式推广至2-形式。
• 将丛丛上拉至环路空间，可得到环路空间上一个丛的联络，其holonomy可恢复原始丛丛的holonomy。
• 威斯-祖米诺-威滕作用量被几何地实现为在3-流形上具有联络与曲率的丛丛的holonomy。
• 陈-西蒙斯作用量被证明源于涉及丛2-丛及其曲率的高阶holonomy构造。
• 该框架支持拓扑量子场论的推广，其中 $ Z(\Sigma) $ 为 $ U(1) $-群胚，物理态为这些群胚的平凡化。