[论文解读] Constructive Approach to Automorphism Groups of Planar Graphs

Pavel Klavík, Roman Nedela+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 39被引用 3

一句话总结

本论文通过将有限连通平面图的自同构群分解为3-连通分量，并将这些自同构群表示为顶点稳定化子的直积的半直积——该直积在循环群、二面体群和对称群的直积与半直积下封闭——并辅以一个球面对称群，从而提供了对这些自同构群的构造性刻画。该方法可导出一个时间复杂度为二次的算法，用于计算此类群。

ABSTRACT

By Frucht's Theorem, every abstract finite group is isomorphic to the automorphism group of some graph. In 1975, Babai characterized which of these abstract groups can be realized as the automorphism groups of planar graphs. In this paper, we give a more detailed and understandable description of these groups. We describe stabilizers of vertices in connected planar graphs as the class of groups closed under the direct product and semidirect products with symmetric, dihedral and cyclic groups. The automorphism group of a connected planar graph is obtained as semidirect product of a direct product of these stabilizers with a spherical group. Our approach is based on the decomposition to 3-connected components and gives a quadratic-time algorithm for computing the automorphism group of a planar graph.

研究动机与目标

• 为可作为平面图自同构群出现的抽象有限群提供更明确且构造性的描述。
• 阐明连通平面图中顶点稳定化子的代数结构。
• 建立一种系统化方法，从图的结构分量出发，构造连通平面图的完整自同构群。
• 基于图的分解，开发一种高效算法，用于计算平面图的自同构群。
• 通过提供计算上可行且代数上透明的框架，扩展Babai于1975年的刻画。

提出的方法

• 使用SPQR树分解，将连通平面图分解为其3-连通分量。
• 将顶点稳定化子刻画为在循环群、二面体群和对称群的直积与半直积下封闭的群类。
• 将完整自同构群表示为稳定化子直积与一个球面对称群（即作用于球面的自同构群）的半直积。
• 利用3-连通分量的结构，递归地从局部稳定化子群构建自同构群。
• 以保持平面性与群封闭性的方式，应用群论运算（直积与半直积）。
• 设计一种时间复杂度为二次的算法，通过遍历分解树，并利用迭代群积构造逐步计算自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些抽象有限群可作为有限连通平面图的自同构群实现？其代数结构特征为何？
• RQ2 如何从3-连通分量系统化地构造连通平面图的自同构群？
• RQ3 平面图中顶点稳定化子群在群运算下满足何种封闭性质？
• RQ4 能否开发一种构造性且高效的算法，用于计算平面图的自同构群？
• RQ5 球面对称群分量如何与稳定化子群在整体自同构群结构中相互作用？

主要发现

• 连通平面图的自同构群同构于顶点稳定化子的直积与一个球面对称群的半直积。
• 连通平面图中的顶点稳定化子构成一个群类，该类在循环群、二面体群和对称群的直积与半直积下封闭。
• 通过将图分解为3-连通分量并随后进行群积组装，可构造性地确定完整自同构群。
• 所提出的方法可导出一个时间复杂度为二次的算法，用于计算平面图的自同构群。
• 该刻画提供了对所有可作为平面图自同构群实现的群的完整且可算法实现的描述。
• 该框架通过提供一种构造性、计算上可行且代数上透明的方法，扩展并澄清了Babai于1975年的刻画。