[论文解读] Constructive Discrepancy Minimization by Walking on The Edges

Shachar Lovett, Raghu Meka|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新的随机化、构造性算法，用于不和谐性最小化，采用了一种新颖的在多面体边上的'边游走'随机游走，以在$\tilde{O}((n+m)^3)$时间内实现Spencer的六倍标准差界$O(\sqrt{n \log(m/n)})$。与以往方法不同，该方法通过避免存在性论证，提供了真正构造性的证明，为Bansal的SDP方法提供了一种更简单、基于线性代数的替代方案。

ABSTRACT

Minimizing the discrepancy of a set system is a fundamental problem in combinatorics. One of the cornerstones in this area is the celebrated six standard deviations result of Spencer (AMS 1985): In any system of n sets in a universe of size n, there always exists a coloring which achieves discrepancy 6\sqrt{n}. The original proof of Spencer was existential in nature, and did not give an efficient algorithm to find such a coloring. Recently, a breakthrough work of Bansal (FOCS 2010) gave an efficient algorithm which finds such a coloring. His algorithm was based on an SDP relaxation of the discrepancy problem and a clever rounding procedure. In this work we give a new randomized algorithm to find a coloring as in Spencer's result based on a restricted random walk we call "Edge-Walk". Our algorithm and its analysis use only basic linear algebra and is "truly" constructive in that it does not appeal to the existential arguments, giving a new proof of Spencer's theorem and the partial coloring lemma.

研究动机与目标

• 提供一种真正构造性的不和谐性最小化算法，避免早期证明中使用的存在性论证。
• 在高效、随机化的算法下，实现与Spencer的六倍标准差定理相同的$O(\sqrt{n \log(m/n)})$不和谐性界。
• 将该方法扩展到每个元素最多出现在$t$个集合中的Beck-Fiala情形，实现已知的构造性界。
• 使用基本线性代数和随机游走，提供部分着色引理的新、更简单的构造性证明，而无需依赖高级凸几何或SDP。

提出的方法

• 引入一种受限随机游走，称为'边游走'，沿由$[-1,1]^n$定义的多面体的边移动，以寻找低不和谐性的部分着色。
• 使用基于不和谐性向量$\ell_2$-范数的势函数来引导游走，确保向低不和谐性方向推进。
• 应用递归分解：每一步之后，将一半变量固定为$\pm 1$，并在剩余变量上递归。
• 采用阈值策略：当$|x_i| \geq 1 - \delta$时，将变量视为已固定，其中$\delta = 1/n$。
• 利用浓度不等式（Chernoff型）证明，将最终向量$x$四舍五入为$\pm 1$仅使不和谐性增加$O(\sqrt{n})$。
• 结合多次边游走迭代，使剩余变量的不和谐性几何级减少，从而得到总不和谐性界$O(\sqrt{n \log(m/n)})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种真正构造性的算法来实现Spencer的不和谐性定理，而无需依赖存在性论证或半定规划？
• RQ2 实现$O(\sqrt{n \log(m/n)})$不和谐性界所需的最简工具集是什么？例如随机游走和线性代数？
• RQ3 边游走方法能否适应Beck-Fiala情形，即每个元素最多出现在$t$个集合中，从而实现$O(\sqrt{t} \log n)$的构造性不和谐性？
• RQ4 与Bansal的SDP方法相比，边游走方法在效率和简洁性方面表现如何？
• RQ5 边游走分析能否扩展以获得更优的界或更紧的不和谐性保证常数？

主要发现

• 该算法以高概率在$\tilde{O}((n+m)^3)$时间内实现$O(\sqrt{n \log(m/n)})$的不和谐性，与Spencer的界一致，仅相差一个绝对常数。
• 当$m = n$时，不和谐性界中的常数可优化至13，优于以往的构造性方法。
• 该方法提供了部分着色引理的新、基础的构造性证明，仅依赖基本线性代数和随机游走。
• 该算法可扩展至Beck-Fiala情形，以高概率在$\tilde{O}((n+m)^5)$时间内实现$O(\sqrt{t} \log n)$的不和谐性。
• 四舍五入步骤仅使不和谐性增加$O(\sqrt{n})$，该增量可被整体$O(\sqrt{n \log(m/n)})$界所吸收。
• 该分析避免使用半定规划或高级凸几何，转而依赖浓度不等式和迭代边游走。