[论文解读] Contact structures and supersymmetric mechanics

Andrew James Bruce|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了 $d=1$, $N=2$ 超洛伦兹代数与超流形 $ackslash mathbb{R}^{1|2}$ 上的接触几何之间的直接对应关系，表明标准的超对称变换相对于一个规范的 Grassmann 奇性接触形式 $\alpha = dt + i(\theta d\bar{\theta} + \bar{\theta} d\theta)$ 作为严格的接触微分同构。其主要贡献在于将超荷向量场 $Q$ 和 $\bar{Q}$ 识别为严格接触向量场，且 Reeb 向量场为 $\partial/\partial t$，从而将超对称力学嵌入接触几何的框架之中。

ABSTRACT

We reexamine the relation between contact structures on supermanifolds and supersymmetric mechanics in the superspace formulation. This allows one to use the language of contact geometry when dealing with the d = 1, N = 2 super-Poincare algebra.

研究动机与目标

• 建立一个几何框架，将 $d=1$, $N=2$ 超对称力学与超流形上的接触结构联系起来。
• 证明标准的超对称变换在超空间中相对于特定的超接触形式是严格的接触微分同构。
• 在超接触设定中识别 Reeb 向量场，并将其与时间平移生成元联系起来。
• 阐明超协变导数 $\mathbbmss{D}$ 和 $\bar{\mathbbmss{D}}$ 的几何作用，即它们张成接触分布。
• 在超对称力学的背景下，将齐性空间方法与 Maurer–Cartan 形式语言统一于接触几何之中。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^{1|2}$ 上定义一个 Grassmann 奇性一形式 $\alpha = dt + i(\theta d\bar{\theta} + \bar{\theta} d\theta)$，作为超接触形式。
• 验证 $\alpha$ 非零，并定义一个余秩为 $(1|0)$ 的超平面分布 $\mathcal{D}_\alpha = \ker \alpha$，其由奇性向量场 $\mathbbmss{D}$ 和 $\bar{\mathbbmss{D}}$ 张成。
• 通过与 $\mathbbmss{D}$ 和 $\bar{\mathbbmss{D}}$ 的收缩，确认 $d\alpha = 2i d\theta \wedge d\bar{\theta}$ 在 $\mathcal{D}_\alpha$ 上非退化。
• 通过计算 $\alpha' = \alpha$，证明超对称变换保持 $\alpha$ 不变，从而证明其为严格的接触微分同构。
• 计算李导数 $L_Q \alpha = 0$ 和 $L_{\bar{Q}} \alpha = 0$，确认 $Q$ 和 $\bar{Q}$ 为严格接触向量场。
• 通过条件 $i_P \alpha = 1$ 和 $i_P d\alpha = 0$ 识别 Reeb 向量场 $P = \partial/\partial t$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用超流形上的接触结构几何实现 $d=1$, $N=2$ 超洛伦兹代数？
• RQ2 超接触形式 $\alpha = dt + i(\theta d\bar{\theta} + \bar{\theta} d\theta)$ 在编码超对称性中起何精确作用？
• RQ3 标准的超荷向量场 $Q$ 和 $\bar{Q}$ 是否关于此形式为严格接触向量场？
• RQ4 此超接触结构中的 Reeb 向量场如何与超对称力学中的时间平移生成元相关联？
• RQ5 齐性空间方法与 Maurer–Cartan 形式语言能否在此语境下自然地与接触几何联系起来？

主要发现

• 在 $\mathbb{R}^{1|2}$ 上，超接触形式 $\alpha = dt + i(\theta d\bar{\theta} + \bar{\theta} d\theta)$ 定义了一个真正的接触结构，且 $d\alpha = 2i d\theta \wedge d\bar{\theta}$ 在核分布上非退化。
• 超对称变换作为严格的接触微分同构作用，因为 $\alpha$ 在变换 $t \to t + i(\epsilon \bar{\theta} - \theta \bar{\epsilon})$，$\theta \to \theta + \epsilon$，$\bar{\theta} \to \bar{\theta} + \bar{\epsilon}$ 下保持不变。
• 超荷向量场 $Q = \partial/\partial\theta + i\bar{\theta} \partial/\partial t$ 和 $\bar{Q} = \partial/\partial\bar{\theta} + i\theta \partial/\partial t$ 为严格接触向量场，满足 $L_Q \alpha = 0$ 和 $L_{\bar{Q}} \alpha = 0$。
• Reeb 向量场被识别为 $P = \partial/\partial t$，其由 $i_P \alpha = 1$ 和 $i_P d\alpha = 0$ 唯一确定。
• 超平面分布 $\mathcal{D}_\alpha = \operatorname{Span}\{ \mathbbmss{D}, \bar{\mathbbmss{D}} \}$，其中 $\mathbbmss{D} = \partial/\partial\theta - i\bar{\theta} \partial/\partial t$，不是对合的，因为 $[\mathbbmss{D}, \bar{\mathbbmss{D}}] = -2i \partial/\partial t \notin \mathcal{D}_\alpha$。
• 该构造与模型无关，并通过接触几何为 $d=1$, $N=2$ 超洛伦兹代数提供了几何解释，统一了超对称性与经典微分几何。