[论文解读] Nonholonomic Clifford Structures and Noncommutative Riemann--Finsler Geometry

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2004

Advanced Differential Geometry Research参考文献 67被引用 10

一句话总结

本文建立了一套几何框架，将非完整流形与非线性联络联系到非交换黎曼–芬斯ler几何与黎曼–拉格朗日几何。通过将克利福德模、旋量与狄拉克算子适配到N-联络，证明了具有非对角度量和挠率的可交换黎曼–嘉当几何等价于广义芬斯勒几何，从而可通过谱三元组与狄拉克算子的非完整变形实现非交换推广。

ABSTRACT

We survey the geometry of Lagrange and Finsler spaces and discuss the issues related to the definition of curvature of nonholonomic manifolds enabled with nonlinear connection structure. It is proved that any commutative Riemannian geometry (in general, any Riemann--Cartan space) defined by a generic off--diagonal metric structure (with an additional affine connection possessing nontrivial torsion) is equivalent to a generalized Lagrange, or Finsler, geometry modeled on nonholonomic manifolds. This results in the problem of constructing noncommutative geometries with local anisotropy, in particular, related to geometrization of classical and quantum mechanical and field theories, even if we restrict our considerations only to commutative and noncommutative Riemannian spaces. We elaborate a geometric approach to the Clifford modules adapted to nonlinear connections, to the theory of spinors and the Dirac operators on nonholonomic spaces and consider possible generalizations to noncommutative geometry. We argue that any commutative Riemann--Finsler geometry and generalizations my be derived from noncommutative geometry by applying certain methods elaborated for Riemannian spaces but extended to nonholonomic frame transforms and manifolds provided with nonlinear connection structure.

研究动机与目标

• 将非交换几何推广至包含局部各向异性和非完整结构的情形。
• 建立具有非对角度量的可交换黎曼–嘉当空间与广义芬斯勒–拉格朗日几何之间的对应关系。
• 基于非线性联络（N-联络）结构，为非完整空间上的旋量与狄拉克算子构建一个框架。
• 将非交换几何中的谱作用原理与距离公式扩展至非完整与各向异性几何。
• 为基于弦理论与规范引力理论启发的、具有局部各向异性的非交换引力与场论提供几何基础。

提出的方法

• 将克利福德模与旋量结构适配到非完整流形上的非线性联络（N-联络）。
• 引入与非对角度量及N-联络结构相容的d-联络（区分联络），确保度量相容性。
• 通过将狄拉克算子推广至N-适配的标架与旋量d-联络，构建N-非闭合狄拉克算子。
• 应用塞尔–斯旺定理，将向量丛建模为带有N-联络结构的投影模，从而实现非交换规范场的表述。
• 通过将康奈斯的非交换几何适配到d-联络与d-度量，构建非完整空间上的谱三元组。
• 利用由正则拉格朗日量导出的典型d-联络与d-度量，定义非交换拉格朗日–芬斯勒几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非对角度量与非平凡挠率的可交换黎曼–嘉当几何能否等价地描述为广义芬斯勒–拉格朗日几何？
• RQ2 克利福德模与旋量结构如何推广至配备非线性联络的非完整流形？
• RQ3 非完整空间上的狄拉克算子形式为何？其与非交换几何中谱三元组的关系如何？
• RQ4 能否通过N-联络形式体系将非交换几何扩展至包含局部各向异性和非完整结构？
• RQ5 非完整变形的狄拉克算子如何生成非交换引力中的精确解？

主要发现

• 任何具有非对角度量与非平凡挠率的可交换黎曼–嘉当几何，等价于非完整流形上的广义拉格朗日或芬斯勒几何。
• 存在一个度量相容的典型d-联络，由d-度量与N-联络构造而成，从而可在非完整空间上建立一致的旋量与狄拉克算子结构。
• 主要结果1确立了N-非闭合旋量结构与d-旋量的存在性，将拉格朗日旋量群推广至非完整设定。
• 主要结果2证明了N-非闭合狄拉克算子可由N-延长标架与旋量d-联络构造，保持h-与v-分解。
• 主要结果3推导出d-旋量空间中的距离公式，满足有限性与正定性，将康奈斯的谱距离推广至非完整与各向异性几何。
• 本文表明，非交换黎曼–嘉当与拉格朗日–芬斯勒空间可通过非完整标架变换与狄拉克算子的变形生成，为非交换引力解提供了路径。