[论文解读] Contact structures on Lie algebroids

Cristian Ida, Paul Popescu|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文将（几乎）接触几何从流形推广到奇数秩的李代数丛，引入了李代数丛上的接触与几乎接触黎曼结构。通过广义几何与大切丛构造，建立了在黎曼流形上垂直Liouville分布上的新（几乎）接触黎曼结构，证明了接触与几乎接触黎曼结构之间的双射对应关系，并刻画了K-接触、Sasakian与Kenmotsu李代数丛。

ABSTRACT

In this paper we generalize the main notions from the geometry of (almost) contact manifolds in the category of Lie algebroids. Also, using the framework of generalized geometry, we obtain an (almost) contact Riemannian Lie algebroid structure on a vertical Liouville distribution over the big-tangent manifold of a Riemannain manifold.

研究动机与目标

• 将奇数秩李代数丛范畴中的（几乎）接触流形理论进行推广。
• 在李代数丛上建立接触黎曼结构与几乎接触黎曼结构之间的双射对应关系。
• 利用广义几何与黎曼流形的大切丛构造接触李代数丛的新例子。
• 在李代数丛背景下引入并研究K-接触、Sasakian与Kenmotsu结构。

提出的方法

• 推广李代数丛上的微分学，包括外导数、内乘积与李导数，以定义（几乎）接触结构。
• 利用李代数丛上的联络与黎曼几何构造相容的几何结构。
• 将广义几何框架应用于黎曼流形 (M,g) 的大切丛，以定义垂直框架化的黎曼 f(3,1)-结构。
• 将广义结构限制到可积的垂直Liouville分布上，该分布成为具有几乎接触黎曼结构的李代数丛。
• 推导几乎接触结构度量相容性的基本恒等式 $ \overline{G}(\overline{f}(X),\overline{f}(Y)) = \overline{G}(X,Y) - \overline{\eta}(X)\overline{\eta}(Y) $。
• 证明 $ \overline{d}_V \overline{\eta} = \frac{\overline{\Phi}}{\sqrt{F^2 + K^2}} $，由此通过非零性 $ \overline{\eta} \wedge (\overline{d}_V \overline{\eta})^{n-1} \neq 0 $ 推出接触条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典（几乎）接触流形理论推广至奇数秩李代数丛？
• RQ2 李代数丛上接触黎曼结构与几乎接触黎曼结构之间存在何种关系？
• RQ3 能否在黎曼流形的大切丛上的垂直Liouville分布上构造（几乎）接触黎曼结构？
• RQ4 K-接触、Sasakian与Kenmotsu结构在李代数丛设定下的类比是什么？
• RQ5 广义几何如何促进在延长李代数丛上构造此类结构？

主要发现

• 在李代数丛上建立了接触黎曼结构与几乎接触黎曼结构之间的双射对应关系。
• 黎曼流形 $ (M,g) $ 的大切丛上垂直Liouville分布 $ V_{\xi_2} $ 携带由广义几何框架诱导的明确定义的几乎接触黎曼结构。
• 结构 $ (\overline{f}, \overline{\xi}, \overline{\eta}, \overline{G}) $ 在 $ V_{\xi_2} $ 上满足几乎接触黎曼李代数丛的定义恒等式。
• 基本2-形式 $ \overline{\Phi} $ 与1-形式 $ \overline{\eta} $ 满足 $ \overline{d}_V \overline{\eta} = \frac{\overline{\Phi}}{\sqrt{F^2 + K^2}} $，确认了该结构的接触性质。
• $ \overline{\eta} \wedge (\overline{d}_V \overline{\eta})^{n-1} $ 的非零性确认了 $ (\overline{\eta}, \frac{\overline{\Phi}}{\sqrt{F^2 + K^2}}) $ 是李代数丛 $ V_{\xi_2} $ 上的一个接触结构。
• 本文引入并刻画了李代数丛上的K-接触、Sasakian与Kenmotsu结构，将经典微分几何概念扩展至该代数-几何设定。