[论文解读] Continuity and injectivity of optimal maps for non-negatively cross-curved costs

Alessio Figalli, Young‐Heon Kim+1 more|Nov 20, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 47被引用 38

一句话总结

本文在成本函数具有非负交叉曲率的条件下，建立了最优传输映射的连续性与单射性，证明了当源与目标密度在零和无穷大之间有界时，最优映射在定义域内部具有连续可微性（即 $C^1$）。关键结果依赖于亚历山大罗夫型估计，并通过变换至修正成本函数以推导出严格 $c$-凸性与单点 $c$-次微分，从而确保传输映射的单射性与连续性。

ABSTRACT

Consider transportation of one distribution of mass onto another, chosen to optimize the total expected cost, where cost per unit mass transported from x to y is given by a smooth function c(x,y). If the source density f^+(x) is bounded away from zero and infinity in an open region U' \subset R^n, and the target density f^-(y) is bounded away from zero and infinity on its support clV \subset R^n, which is strongly c-convex with respect to U', and the transportation cost c is non-negatively cross-curved, we deduce continuity and injectivity of the optimal map inside U' (so that the associated potential u belongs to C^1(U')). This result provides a crucial step in the low/interior regularity setting: in a subsequent paper [15], we use it to establish regularity of optimal maps with respect to the Riemannian distance squared on arbitrary products of spheres. The present paper also provides an argument required by Figalli and Loeper to conclude in two dimensions continuity of optimal maps under the weaker (in fact, necessary) hypothesis A3w [17]. In higher dimensions, if the densities f^\pm are Hölder continuous, our result permits continuous differentiability of the map inside U' (in fact, C^{2,α}_{loc} regularity of the associated potential) to be deduced from the work of Liu, Trudinger and Wang [33].

研究动机与目标

• 在成本函数具有非负交叉曲率的条件下，建立最优传输映射的连续性与单射性。
• 将正则性结果扩展至低正则性/内部正则性情形，特别是黎曼球面乘积上的距离平方成本。
• 为在二维情形下基于更弱的 (A3w) 条件证明 $C^1$ 正则性提供关键步骤。
• 在刘、崔丁与王先前工作的基础上，推导出当密度为 Hölder 连续时，势函数的更高阶正则性（$C^{2,eta}_{\text{loc}}$）。

提出的方法

• 通过成本指数坐标与仿射归一化，将成本函数变换为修正成本函数 $\tilde{c}$，以简化分析。
• 应用亚历山大罗夫型估计，控制蒙日-安培测度，并将其与 $\tilde{c}$-蒙日-安培测度进行比较。
• 利用强 $c$-凸目标与次微分的边界行为，排除多重接触。
• 通过小截面中的暴露点与支撑超平面，结合体积估计推导矛盾。
• 应用 $c$-凸性与严格 $c$-凸性，确保单点 $c$-次微分，从而推出映射的 $C^1$ 正则性。
• 依赖于非负交叉曲率条件 (B2u) 与密度有界性，以确保估计的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当成本函数具有非负交叉曲率时，最优传输映射在何种条件下是连续且单射的？
• RQ2 在二维情形下，是否可在更弱的 (A3w) 条件下建立最优映射的连续性？
• RQ3 在定义域内部，$c$-次微分的结构如何与最优映射的正则性相关？
• RQ4 修正成本函数 $\tilde{c}$ 在推导严格 $c$-凸性与连续性方面起到何种作用？
• RQ5 亚历山大罗夫型估计是否可用于排除非单点 $c$-次微分，并确保 $C^1$ 正则性？

主要发现

• 当成本函数具有非负交叉曲率且密度在零与无穷大之间有界时，最优映射在定义域 $U^\lambda$ 的内部是连续且单射的。
• $c$-次微分 $\partial^c u(x)$ 对所有 $x \in U^\lambda$ 均为单点集，意味着 $u \in C^1(U^\lambda)$。
• 势函数 $u$ 的严格 $c$-凸性得以确立，即对任意不同的 $x, \tilde{x} \in U^\lambda$，有 $\partial^c u(x) \cap \partial^c u(\tilde{x}) = \emptyset$。
• 基于小截面 $K_\varepsilon$ 中体积估计的矛盾论证表明，$\tilde{c}$-次微分不可能支持非单点集合，从而违反亚历山大罗夫估计。
• 该结果意味着当密度为 Hölder 连续时，势函数 $u$ 具有 $C^{2,\alpha}_{\text{loc}}$ 正则性，此结论基于刘、崔丁与王的前期工作。
• 该证明为利用黎曼距离平方成本在球面乘积上建立最优映射的正则性提供了关键要素。