[论文解读] Continuity of the solution map of the Euler equations in Hölder spaces and weak norm inflation in Besov spaces

Gerard Misiołek, Tsuyoshi Yoneda|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文证明了不可压缩欧拉方程的解映射在标准 Hölder 空间 $C^{1,\beta}$（$0<\beta<1$）中不连续，但在小 Hölder 空间 $c^{1,\beta}$ 上受限时是连续的。此外，本文在临界空间 $B^{1}_{2,1}$ 附近的 Besov 空间中建立了不适定性，表明在临界指标附近，Sobolev 嵌入的最佳常数不连续。

ABSTRACT

We construct an example showing that the solution map of the Euler equations is not continuous in the Hölder space from $C^{1,α}$ to $L^\infty_tC^{1,α}_x$ for any $0

研究动机与目标

• 研究不可压缩欧拉方程在 Hölder 空间 $C^{1,\beta}$ 和小 Hölder 空间 $c^{1,\beta}$ 中解映射的连续性。
• 通过弱范数膨胀方法，在临界空间 $B^{1}_{2,1}$ 附近的 Besov 空间中建立不适定性。
• 阐明 $C^{1,\beta}$ 空间中光滑逼近的作用及其因光滑函数不稠密而失效的原因。
• 证明在临界指标 $s=1+2/p$ 附近，Sobolev 嵌入的最佳常数不连续。

提出的方法

• 构造一种类似 DiPerna-Majda 的剪切流，以证明在 $L^\infty_t C^{1,\alpha}_x$ 中，对于 $C^{1,\alpha}$ 初始数据，解映射的不连续性。
• 利用光滑函数在 $C^{1,\alpha}$ 中不稠密的事实，解释连续性失效的原因，与先前工作的机制形成对比。
• 通过 $W^{s,p}$ 范数中的能量估计和 Gronwall 型论证，证明解映射在小 Hölder 空间 $c^{1,\alpha}$ 中的连续性。
• 应用换位子估计（Kato-Ponce 类型）和 Sobolev 嵌入，以控制传输方程中旋度的 $D^{s_*}$ 范数。
• 使用一组光滑化初始数据 $u_0^j = \varphi_j * u_0$ 来逼近 $u_0$ 在 $W^{s,p}$ 中的收敛性，并分析解的收敛性。
• 通过利用弱连续性和函数空间的可分性，为涡度方程在 $L^p$ 和 $W^{s,p}$ 范数中建立先验估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 欧拉方程的解映射是否从 $C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ 连续映射到 $L^\infty([0,T), C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3))$，其中 $0<\alpha<1$？
• RQ2 当解映射受限于小 Hölder 空间 $c^{1,\alpha}$ 时，其连续性是否仍然成立？
• RQ3 能否将 Besov 空间 $B^{s}_{p,\infty}$ 中 $s=1$ 和 $p=2$ 附近的弱范数膨胀与欧拉方程的不适定性联系起来？
• RQ4 当 $p \to 2^+$ 时，Sobolev 嵌入 $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{p^*}(\mathbb{R}^n)$ 的最佳常数是否连续？

主要发现

• 欧拉方程的解映射在 $C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^3)$ 到 $L^\infty_t C^{1,\alpha}_x$ 之间对任意 $0<\alpha<1$ 均不连续。
• 在小 Hölder 空间 $c^{1,\alpha}(\mathbb{R}^n)$ 中，解映射是连续的，且在 Hadamard 意义下是局部适定的，其中 $n=2,3$ 且 $0<\alpha<1$。
• 在临界空间 $B^{1}_{2,1}$ 附近的 Besov 空间 $B^{s}_{p,\infty}$ 中建立了不适定性，观察到弱范数膨胀。
• Sobolev 嵌入 $W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{p^*}(\mathbb{R}^n)$ 的最佳常数序列在 $p \to 2^+$ 时不连续。
• 在 $C^{1,\alpha}$ 中连续性失效的原因是光滑函数在该空间中不稠密，而非 Riesz 变换无界。
• 通过换位子估计和 Gronwall 不等式，为涡度在 $W^{s,p}$ 范数中建立了先验估计，从而实现了光滑化解的收敛性。