[论文解读] Continuous formulation of the Loop Quantum Gravity phase space

Laurent Freidel, Marc Geiller+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 30被引用 10

一句话总结

本文建立了自洽的离散全息-通量相空间与在平坦性约束下连续广义相对论相空间的对称化约化之间的精确同构关系。通过证明通量变量标记的是规范等价几何的等价类，该研究调和了LQG中的奇异几何与自旋泡沫模型中的分段平坦几何之间的矛盾，阐明了二者均源于同一组经典数据，仅因规范选择不同而表现各异。

ABSTRACT

In this paper, we study the discrete classical phase space of loop gravity, which is expressed in terms of the holonomy-flux variables, and show how it is related to the continuous phase space of general relativity. In particular, we prove an isomorphism between the loop gravity discrete phase space and the symplectic reduction of the continuous phase space with respect to a flatness constraint. This gives for the first time a precise relationship between the continuum and holonomy-flux variables. Our construction shows that the fluxes depend on the three-geometry, but also explicitly on the connection, explaining their non commutativity. It also clearly shows that the flux variables do not label a unique geometry, but rather a class of gauge-equivalent geometries. This allows us to resolve the tension between the loop gravity geometrical interpretation in terms of singular geometry, and the spin foam interpretation in terms of piecewise flat geometry, since we establish that both geometries belong to the same equivalence class. This finally gives us a clear understanding of the relationship between the piecewise flat spin foam geometries and Regge geometries, which are only piecewise-linear flat: While Regge geometry corresponds to metrics whose curvature is concentrated around straight edges, the loop gravity geometry correspond to metrics whose curvature is concentrated around not necessarily straight edges.

研究动机与目标

• 阐明圈量子引力中离散全息-通量变量与广义相对论连续相空间之间的经典关系。
• 调和LQG中奇异几何诠释与自旋泡沫模型中分段平坦几何之间的张力。
• 证明通量变量并不标记唯一几何，而是规范变换下的等价类。
• 通过将离散化与量子化解耦，为圈重力提供经典基础。
• 为在图上的有限维全息-通量相空间中表述广义相对论的完整动力学奠定基础。

提出的方法

• 从图Γ的边关联的全息-通量变量(h_e, X_e)构造有限维相空间，形成SU(2)余切丛的积。
• 将圈重力的离散相空间识别为在对偶图Γ*的补集上施加平坦性约束的连续重力相空间的对称化约化。
• 使用规范固定程序，将不同几何诠释（如LQG中的奇异规范、自旋泡沫中的平坦规范）与同一组连续几何的等价类关联起来。
• 证明LQG面积算符是特定规范（奇异规范）下连续面积泛函的量子化结果，且该泛函对通量的依赖关系在规范变换下保持不变。
• 表明因规范选择而不同的泛函属于全息代数的交换子代数，从而保持物理等价性。
• 确立了Regge几何与自旋泡沫模型中的扭曲几何（twisted geometries）均为同一等价类的代表，仅在边几何选择（直线 vs. 非直线）上有所不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 圈重力的离散全息-通量相空间与广义相对论的连续相空间之间有何关系？
• RQ2 为何通量变量不能唯一确定一个几何？其非对易性的物理意义是什么？
• RQ3 如何调和LQG中的奇异几何与自旋泡沫模型中的分段平坦几何？
• RQ4 规范选择在将同一组通量数据解释为不同几何结构中起什么作用？
• RQ5 能否通过图上截断的全息-通量相空间集合完整捕捉广义相对论的类经典动力学？

主要发现

• 圈重力的离散全息-通量相空间与在对偶图补集上施加平坦性约束的连续重力相空间的对称化约化同构。
• 通量变量标记的是规范等价连续几何的等价类，解释了其非对易性及缺乏唯一几何诠释的原因。
• LQG中的奇异几何与自旋泡沫模型中的分段平坦几何是同一等价类的两个不同代表，仅因规范选择不同而异。
• LQG面积算符是奇异规范下连续面积泛函的量子化结果，且在该规范下与通量定义（协变或标准）无关。
• 自旋泡沫模型中的扭曲几何对应于曲率集中在非直线边上的分段平坦几何，是对Regge几何的推广。
• 广义相对论的类经典动力学可被重新表述为图上全息-通量相空间的集合，前提是同时考虑所有图。