[论文解读] Continuous-state branching processes with competition: duality and reflection at Infinity

Clément Foucart|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 31被引用 18

一句话总结

本文研究具有二次竞争的连续状态分支过程，建立了无穷大可访问或为入口边界的确界条件。提出逻辑斯蒂CSBP与广义Feller扩散之间的一种新颖对偶关系，证明当无穷大可访问时，在特定参数条件下过程可在无穷大处反射，且若满足Grey条件，则过程在0处几乎必然灭绝。

ABSTRACT

The boundary behavior of continuous-state branching processes with quadratic competition is studied in whole generality. We first observe that despite competition, explosion can occur for certain branching mechanisms. We obtain a necessary and sufficient condition for $\\infty$ to be accessible in terms of the branching mechanism and the competition parameter $c>0$. We show that when $\\infty$ is inaccessible, it is always an entrance boundary. In the case where $\\infty$ is accessible, explosion can occur either by a single jump to $\\infty$ (the process at $z$ jumps to $\\infty$ at rate $\\lambda z$ for some $\\lambda>0$) or by accumulation of large jumps over finite intervals. We construct a natural extension of the minimal process and show that when $\\infty$ is accessible and $0\\leq \\frac{2\\lambda}{c}<1$, the extended process is reflected at $\\infty$. In the case $\\frac{2\\lambda}{c}\\geq 1$, $\\infty$ is an exit of the extended process. When the branching mechanism is not the Laplace exponent of a subordinator, we show that the process with reflection at $\\infty$ get extinct almost-surely. Moreover absorption at $0$ is almost-sure if and only if Grey's condition is satisfied. When the branching mechanism is the Laplace exponent of a subordinator, necessary and sufficient conditions are given for a stationary distribution to exist. The Laplace transform of the latter is provided. The study is based on classical time-change arguments and on a new duality method relating logistic CSBPs with certain generalized Feller diffusions.

研究动机与目标

• 刻画具有二次竞争的连续状态分支过程的边界行为。
• 根据分支机制与竞争参数，确定无穷大是否可访问或为入口边界。
• 当无穷大可访问时，构建最小过程的自然延拓，并分析其在无穷大处的反射或吸收行为。
• 建立过程在0处几乎必然灭绝以及平稳分布存在的条件，适用于不同的分支机制。
• 发展一种新的对偶方法，将逻辑斯蒂CSBP与广义Feller扩散联系起来，以实现更深入的结构分析。

提出的方法

• 使用Lamperti的时间变换技术，将逻辑斯蒂CSBP与时间变换后的Feller扩散联系起来。
• 应用逻辑斯蒂CSBP与广义Feller扩散之间新颖的对偶框架，分析边界行为。
• 运用经典的时间变换论证与拉普拉斯变换技术，研究首次 hitting 时间与半群性质。
• 应用单调收敛定理与Lebesgue定理，分析拉普拉斯变换中平稳分布的积分收敛性。
• 通过极限测度的拉普拉斯变换，推导平稳分布存在的必要与充分条件。
• 使用可选停时与鞅论方法，计算关联的Ornstein-Uhlenbeck型过程首次击中某水平的拉普拉斯变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有二次竞争的连续状态分支过程中的无穷大是可访问的？
• RQ2 逻辑斯蒂CSBP是否可在无穷大处反射，其发生的参数约束为何？
• RQ3 什么决定了过程在0处几乎必然灭绝，这与Grey条件有何关联？
• RQ4 逻辑斯蒂CSBP在何种情况下存在平稳分布，其拉普拉斯变换为何？
• RQ5 逻辑斯蒂CSBP与广义Feller扩散之间的对偶性如何帮助刻画无穷大处的边界行为？

主要发现

• 当且仅当分支机制与竞争参数满足涉及拉普拉斯指数的特定积分条件时，无穷大是可访问的。
• 当无穷大不可访问时，其始终为入口边界，意味着过程可从无穷大“下降”至有限值。
• 若无穷大可访问且 $ \frac{2\lambda}{c} < 1 $，则扩展过程在无穷大处被反射；若 $ \frac{2\lambda}{c} \geq 1 $，则无穷大为吸收边界。
• 过程在0处几乎必然灭绝当且仅当满足Grey条件，与竞争参数无关。
• 当分支机制为子ordinator的拉普拉斯指数时，平稳分布存在的充要条件是Lévy测度满足某一特定积分条件，且其拉普拉斯变换可显式计算。
• 该对偶方法实现了对边界行为的完整分类，包括大跳跃与爆炸动力学的作用。