[论文解读] Laplace-Laplace analysis of the fractional Poisson process

Rudolf Gorenflo, Francesco Mainardi|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Fractional Differential Equations SolutionsMathematics参考文献 15被引用 16

一句话总结

本文通过拉普拉斯-拉普拉斯变换分析了分数阶泊松过程，表明其可通过反稳定子序的下位过程对标准泊松过程进行时间变换而得到。主要贡献是利用双重拉普拉斯变换严格推导出概率质量函数，得到一个子序积分表示，证实分数阶泊松过程是具有 Mittag-Leffler 等待时间的更新过程。

ABSTRACT

We generate the fractional Poisson process by subordinating the standard Poisson process to the inverse stable subordinator. Our analysis is based on application of the Laplace transform with respect to both arguments of the evolving probability densities.

研究动机与目标

• 通过在时间和空间上使用拉普拉斯变换，提供一种基于变换的分数阶泊松过程的严格推导。
• 建立分数阶泊松过程与通过反稳定子序实现的时间变换标准泊松过程之间的等价性。
• 使用拉普拉斯变换而非傅里叶变换，重新表述连续时间随机游走（CTRW）框架，适用于严格正的增量。
• 通过双重拉普拉斯反演推导出分数阶泊松过程概率质量函数的显式积分表示。

提出的方法

• 在 CTRW 框架中对时间和空间变量应用拉普拉斯变换，由于单位跳跃为正，故以拉普拉斯变换替代标准傅里叶变换。
• 使用拉普拉斯-拉普拉斯形式的 Cox-Weiss 公式来表示计数过程的特征函数。
• 通过变换域中分母倒数的非正常积分表示，引入一个操作时间变量 $ t_* $。
• 对双重拉普拉斯变换进行反演，推导出子序积分：$ p_\beta(x,t) = \int_0^\infty p_1(x,t_*) q_\beta(t_*,t) \, dt_* $。
• 利用关于反稳定子序已知的结果，包括其密度 $ q_\beta(t_*,t) = t^{-\beta} M_\beta(t_* t^{-\beta}) $，其中 $ M_\beta $ 为 M-Wright 函数。
• 建立随机解释：$ x(t) = y(t_*(t)) $，其中 $ y $ 为标准泊松过程，$ t_*(t) $ 为反稳定子序。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用双重拉普拉斯变换而非傅里叶变换，严格推导出分数阶泊松过程？
• RQ2 从标准泊松过程生成分数阶泊松过程的精确随机机制是什么？
• RQ3 在更新过程背景下，Mittag-Leffler 等待时间分布与子序之间的关系如何？
• RQ4 当跳跃为正且大小为单位时，能否将 CTRW 框架调整为在时间和空间上均使用拉普拉斯变换？
• RQ5 分数阶泊松概率质量函数的精确积分表示如何用反稳定子序表示？

主要发现

• 分数阶泊松过程被严格推导为通过指数 $ \beta \in (0,1] $ 的反稳定子序实现的时间变换标准泊松过程。
• 概率质量函数 $ p_n(t) $ 表示为子序积分：$ p_n(t) = \frac{1}{n!} \int_0^\infty t_*^n e^{-t_*} q_\beta(t_*,t) \, dt_* $，其中 $ q_\beta(t_*,t) = t^{-\beta} M_\beta(t_* t^{-\beta}) $。
• 拉普拉斯-拉普拉斯变换方法允许精确反演，得到可分离变量的解，证实反稳定子序作为操作时间过程的角色。
• M-Wright 函数 $ M_\beta $ 自然地作为反稳定子序的密度出现，将分数阶过程与稳定分布联系起来。
• 结果证实分数阶泊松过程是具有 Mittag-Leffler 等待时间分布 $ E_\beta(-t^\beta) $ 的更新过程，与先前定义一致。
• 该分析提供了一条直接且易于理解的推导路径，避免了高级随机过程术语，适用于应用科学家。