[论文解读] Continuous-time trading and emergence of randomness

Vladimir Vovk|RePEc: Research Papers in Economics|Dec 8, 2007

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 7

一句话总结

本文提出了一种连续时间金融市场的博弈论框架，无需假设随机过程即可定义零概率事件。在最小假设下，证明了证券价格路径几乎必然表现出典型布朗运动的性质——如无孤立零点、无严格局部极值——这是由连续交易策略中涌现的随机性所致。

ABSTRACT

A new definition of events of game-theoretic probability zero in continuous time is proposed and used to prove results suggesting that trading in financial markets results in the emergence of properties usually associated with randomness. This paper concentrates on "qualitative" results, stated in terms of order (or order topology) rather than in terms of the precise values taken by the price processes (assumed continuous).

研究动机与目标

• 在不依赖非标准分析或先验随机假设的前提下，发展一种连续时间零概率事件的博弈论定义。
• 研究在理想化市场中，连续交易如何自然地引出布朗运动的样本路径性质。
• 证明通常与随机性相关联的性质——如无孤立零点或严格单调性——在最小市场有效性假设下几乎必然成立。
• 形式化描述随机行为如何从连续交易策略的结构中自然涌现，而非源于概率建模。
• 为通过交易机制理解金融价格路径中随机性的出现，提供一种非概率论基础。

提出的方法

• 在现实（设定价格路径）与怀疑者（通过交易获利）之间定义一个连续时间博弈。
• 将价格路径建模为空间 $\Omega$ 中的连续函数，其中 $\Omega$ 是所有定义在 $[0, \infty)$ 上的连续实值函数的集合。
• 使用停止时间序列和这些时间点上的有界可测投资组合，定义基本交易策略。
• 通过有限总初始资本的初等资本过程之和，构造正资本过程，确保极限下无套利。
• 将上概率 $\overline{\mathbb{P}}(E)$ 定义为：使正资本过程最终超过事件 $E$ 的指示函数所需的最小初始资本。
• 采用类似大数定律的策略，设定离散价格水平目标并获取小额收益，以迫使在避开某些正则性破坏行为的路径上资本增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设随机过程的前提下，哪些布朗运动的样本路径性质可从连续交易中推导出来？
• RQ2 在不使用非标准分析的前提下，如何在连续时间中定义博弈论概率的零概率事件？
• RQ3 在何种条件下，价格路径中无孤立零点或严格局部极值的现象会几乎必然出现？
• RQ4 $\sqrt{dt}$ 缩放行为能否在无先验概率假设的博弈论框架中自然出现？
• RQ5 在多大程度上，通常与随机性相关的性质源于连续交易机制本身，而非随机性本身？

主要发现

• 本文证明了价格路径几乎必然不存在孤立零点，即不存在某个点在其邻域内为零而其他位置非零的情况。
• 价格路径几乎必然不存在严格递增或递减的点，表明在严格意义上不存在局部单调性。
• 可构造一个初始资本任意接近 1 的正资本过程，使其在违反无孤立零点或严格极值条件的路径上无界增长。
• 该策略依赖于一系列在离散价格水平上的小额、有界的投注，当价格路径避开正则性破坏行为时，收益累积。
• 对于未能满足期望随机行为性质的路径，所构造策略的最终资本可被使为任意大，从而证明这些性质在博弈论意义上几乎不可能。
• 该方法避免使用非标准分析，转而使用黎曼和与离散逼近来模拟连续行为，确保构造的严谨性与可及性。