[论文解读] Game-theoretic Brownian motion

Vladimir Vovk|ArXiv.org|Jan 8, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文提出了一种博弈论框架——称为Lévy博弈——在不假设概率先验的前提下形式化了标准的布朗运动。通过在两种证券（$\omega(t)$ 和 $\omega^2(t) - t$）中建模连续时间交易，表明维纳测度作为非随机博弈论设定下的上概率自然出现，证明了概率可从无初始随机性假设的确定性协议中产生。

ABSTRACT

This paper suggests a perfect-information game, along the lines of Levy's characterization of Brownian motion, that formalizes the process of Brownian motion in game-theoretic probability. This is perhaps the simplest situation where probability emerges in a non-stochastic environment.

研究动机与目标

• 在不假设先验概率测度的前提下，将布朗运动形式化为博弈论概率框架。
• 证明维纳测度作为现实与怀疑者之间完美信息博弈中的上概率自然出现。
• 在特定交易规则下，建立全概率测度可从非随机、确定性协议中出现。
• 研究连续样本路径背景下所得上概率的可测性与一致性。
• 探讨当停止时间与投注限额的假设被放宽时，该框架是否仍保持一致性。

提出的方法

• 形式化了现实（选择一条满足 $\omega(0) = 0$ 的连续路径 $\omega$）与怀疑者（在两种证券 $\omega(t)$ 和 $\omega^2(t) - t$ 上下注）之间的完美信息博弈。
• 通过停止时间序列与在两种证券上可测且有界的投注额，定义基本投注策略。
• 通过初始资本级数收敛的条件，构建正资本过程作为基本资本过程的和。
• 将上概率 $\overline{\mathbb{P}}(E)$ 定义为怀疑者确保其资本最终超过事件 $E$ 的指示函数所需的最小初始资本。
• 利用Lévy博弈推导出样本路径模连续性与最大局部振荡的路径相关界。
• 在时间 $T \wedge \inf\{t : |\omega(t)| = \alpha^{-1/2}T^{1/2} + 1\}$ 处应用停止策略，以证明模连续性 $m^T_\delta$ 的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不事先假设概率测度的前提下，将标准布朗运动形式化为博弈论框架？
• RQ2 在非随机、连续时间博弈中，维纳测度在何种条件下会作为上概率出现？
• RQ3 在此博弈论设定下，$\overline{\mathbb{P}}$-可测集的类是什么？
• RQ4 当移除对停止时间与投注额的可测性限制时，博弈是否仍保持一致性？
• RQ5 若取消对投注额有界性的条件，博弈论概率框架的一致性是否仍能保持？

主要发现

• 维纳测度作为Lévy博弈中的上概率出现，表明概率可从确定性协议中自然产生。
• 对任意 $\alpha > 0$ 与 $T > 0$，事件 $\{\forall \delta > 0: m^T_\delta \leq 157\, \alpha^{-1/2} T^{3/8} \delta^{1/8}\}$ 的下概率至少为 $1 - \alpha$。
• 当 $T \geq 1$ 时，模连续性 $m^T_\delta$ 的界被加强为 $m^T_\delta \leq 800\, \alpha^{-1/2} T^{1/2} \delta^{1/8}$，其下概率至少为 $1 - \alpha$。
• $\overline{\mathbb{P}}$-可测集的类包含了在维纳测度 $W$ 下的滤子 $\mathcal{F}$ 的完备化。
• 在当前约束条件下，博弈保持一致性，且对路径行为的界为路径相关界，而非概率性界。
• 该框架支持在非随机设定下全概率测度的出现，表明随机性可能是协议结构的结果，而非初始假设。