[论文解读] Contour Manifolds and Optimal Transport

Bernhard Schmitzer, Christoph Schnörr|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Medical Image Segmentation Techniques参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文建立了基于参数化轮廓的形状表示与Wasserstein空间中通过最优传输导出的形状度量之间的严格数学等价性。证明了形状度量的集合构成一个微分同胚于闭合轮廓流形的伪黎曼流形，从而可通过Kantorovich公式化的凸优化实现全局最优分割。

ABSTRACT

Describing shapes by suitable measures in object segmentation, as proposed in [24], allows to combine the advantages of the representations as parametrized contours and indicator functions. The pseudo-Riemannian structure of optimal transport can be used to model shapes in ways similar as with contours, while the Kantorovich functional enables the application of convex optimization methods for global optimality of the segmentation functional. In this paper we provide a mathematical study of the shape measure representation and its relation to the contour description. In particular we show that the pseudo-Riemannian structure of optimal transport, when restricted to the set of shape measures, yields a manifold which is diffeomorphic to the manifold of closed contours. A discussion of the metric induced by optimal transport and the corresponding geodesic equation is given.

研究动机与目标

• 为变分图像分割中基于轮廓与基于指示函数的形状表示之间的权衡提供解决方案。
• 在微分几何框架下，正式建立参数化轮廓与形状度量之间的等价性。
• 在形状度量流形上定义由最优传输诱导的黎曼度量。
• 推导并分析形状度量流形上的测地线方程，以实现有意义的形状插值。

提出的方法

• 作者将形状度量定义为具有紧致区域指示函数缩放密度的概率测度。
• 他们构建了ℝ²中S¹类轮廓的流形与形状度量流形之间的微分同胚，保持正则性与微分结构。
• 他们通过限制到形状度量子空间，从Wasserstein空间结构中导出形状度量空间上的伪黎曼度量。
• 利用最优传输框架推导测地线方程，并通过非局部投影保持路径上密度恒定。
• 他们验证了形状的平移与均匀缩放在形状度量流形上为测地线，确认其与直观形状运动的一致性。
• 数值实验表明，插值过程中粒子轨迹呈非线性，保持形状完整性，与标准测度空间中的线性插值形成对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 参数化轮廓流形与形状度量空间之间是否存在精确的数学对应关系？
• RQ2 最优传输的伪黎曼结构能否被限制到形状度量上，从而生成一个定义良好的黎曼流形？
• RQ3 形状度量上的测地线方程与标准最优传输测地线有何不同？其几何解释是什么？
• RQ4 如平移与均匀缩放等标准形状变换是否为形状度量流形上的测地线？
• RQ5 测地线方程中的非局部投影起什么作用？为何必须通过它来保持形状结构？

主要发现

• 形状度量的集合构成一个流形，其微分同胚于ℝ²中闭合S¹类轮廓的流形，从而在两种表示之间建立了严格的等价性。
• 形状度量流形上的黎曼度量由Wasserstein空间中的最优传输结构诱导，从而在轮廓流形上产生了一种此前未被研究的新度量。
• 形状度量上的测地线方程涉及对形状度量切空间的非局部投影，确保中间测度保持为有效形状表示且密度恒定。
• 平移与均匀缩放在形状度量流形上为测地线，确认其与直观形状运动的几何一致性。
• 数值解表明，测地线路径中粒子轨迹为非线性，保持形状完整性，而标准测度空间中的线性插值则不具备此特性。
• 该方法可通过Kantorovich公式化的凸优化实现全局最优分割，避免了基于轮廓方法中常见的局部极小值问题。