[论文解读] Contracting to a Longest Path in H-Free Graphs

Walter Kern, Daniël Paulusma|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 52被引用 2

一句话总结

本文为 H-自由圖中的最長路徑可收縮性問題提供了完整的複雜度二分法，證明當 H 是 P2 + P4 的子圖時該問題可在多項式時間內求解，否則為 NP-完全。作者提出一種新穎的可收縮性技術，將問題簡化為匹配問題，並進一步證明最長路徑可收縮性與最長環可收縮性在 (P2 + P4)-自由圖上的複雜度不同，解決了該領域的一個關鍵差異。

ABSTRACT

A graph G is contractible to a graph H if there is a set X subseteq E(G), such that G/X is isomorphic to H. Here, G/X is the graph obtained from G by contracting all the edges in X. For a family of graphs F, the F-Contraction problem takes as input a graph G on n vertices, and the objective is to output the largest integer t, such that G is contractible to a graph H in F, where |V(H)|=t. When F is the family of paths, then the corresponding F-Contraction problem is called Path Contraction. The problem Path Contraction admits a simple algorithm running in time 2^n * n^{O(1)}. In spite of the deceptive simplicity of the problem, beating the 2^n * n^{O(1)} bound for Path Contraction seems quite challenging. In this paper, we design an exact exponential time algorithm for Path Contraction that runs in time 1.99987^n * n^{O(1)}. We also define a problem called 3-Disjoint Connected Subgraphs, and design an algorithm for it that runs in time 1.88^n * n^{O(1)}. The above algorithm is used as a sub-routine in our algorithm for Path Contraction.

研究动机与目标

• 分類所有 H-自由圖中最大路徑可收縮性的計算複雜度。
• 建立最大路徑可收縮性的二分法結果，區分多項式時間可解與 NP-完全的情況。
• 發展一種通用的可收縮性技術，將問題簡化為匹配問題。
• 證明最大路徑可收縮性與最大環可收縮性在 H-自由圖上不具有相同的複雜度行為。
• 解決最大路徑可收縮性複雜度的開放案例，並指出尚未解決的問題。

提出的方法

• 作者透過對禁止的誘導子圖 H 的結構分析，分類最大路徑可收縮性的複雜度。
• 他們提出一種新的可收縮性技術，將問題簡化為匹配問題，進而能在特定圖類別中高效計算。
• 證明依賴於從超圖 2-著色問題的歸約，以證明特定 H 情況下的 NP-完全性，使用從超圖 H 建構圖 G′H 的方法。
• 他們應用 P5-自由與 P6-自由圖的已知結果，以在不同情況下建立多項式時間可解性與 NP-完全性。
• 論文使用定理 7 與定理 5，根據 H 的結構處理各情況，特別著重於誘導子圖如 3P2 與 P6。
• 一個關鍵步驟是證明 G′H 為 (P2 + P4)-自由，進而使此類別的多項式時間結果成為可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些圖 H，最大路徑可收縮性在 H-自由圖中為多項式時間可解？
• RQ2 最大路徑可收縮性在 H-自由圖中可解與不可解情況的確切界線為何？
• RQ3 最大路徑可收縮性在 H-自由圖上是否與最大環可收縮性具有相同的複雜度？
• RQ4 能否發展一種通用的可收縮性技術，將問題簡化為特定圖類別中的匹配問題？
• RQ5 H-自由圖中最大路徑可收縮性複雜度的剩餘開放案例為何？

主要发现

• 透過一種新穎的可收縮性技術將問題簡化為匹配問題，最大路徑可收縮性在 (P2 + P4)-自由圖中為多項式時間可解。
• 若 H 包含誘導子圖 3P2 或為 P6 的子圖，則 H-自由圖中的最大路徑可收縮性為 NP-完全，從而確立二分法。
• 最大路徑可收縮性與最大環可收縮性的複雜度在 H-自由圖上不一致，如 (P2 + P4)-自由圖中 C4-可收縮性為 NP-完全所示。
• C4-可收縮性在 (P2 + P4)-自由圖中為 NP-完全，這表示最大環可收縮性在該類圖中亦為 NP-完全。
• 本論文透過證明最大路徑可收縮性在 H-自由圖中為多項式時間可解，當且僅當 H 是 P2 + P4 的子圖，從而解決了該問題的複雜度。
• 結果顯示最大路徑可收縮性在 P5-自由圖中為多項式時間可解，但在 P6-自由圖中為 NP-完全，顯示在 P6 處存在明確的臨界點。