[论文解读] Control at a distance of the motion of a rigid body immersed in a two-dimensional viscous incompressible fluid

József J. Kolumbán|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文通过多尺度渐近展开与趋于零的粘性极限方法，分析带有Navier滑移-摩擦边界条件的Navier-Stokes系统，证明了在远离固体的区域施加分布控制时，二维粘性不可压缩流体中刚体的位置与速度可在短时间内实现精确控制。研究显示，通过边界层校正与无粘性控制策略，脉冲控制可精确地在有限时间内将固体引导至任意期望状态。

ABSTRACT

We consider the motion of a rigid body immersed in a two-dimensional viscous incompressible fluid with Navierslip-with-friction conditions at the solid boundary. The fluid-solid system occupies the whole plane. We provethe small-time exact controllability of the position and velocity of the solid when the control takes the form of adistributed force supported in a compact subset (with nonvoid interior) of the fluid domain, away from the body.The strategy relies on the introduction of a small parameter: we consider fast and strong amplitude controls forwhich the ``Navier-Stokes+rigid body'' system behaves like a perturbation of the ``Euler+rigid body'' system. Bythe means of a multi-scale asymptotic expansion we construct a controlled solution to the ``Navier-Stokes+rigidbody'' system thanks to some controlled solutions to ``Euler+rigid body''-type systems and to a detailed analysis ofthe influence of the boundary layer on the solid motion.

研究动机与目标

• 解决在通过远离固体的分布力施加控制时，控制二维粘性不可压缩流体中刚体运动的挑战。
• 在Navier滑移-摩擦边界条件下，建立刚体位置与速度的小时间精确可控性。
• 通过分析粘性边界层的影响，弥合基于Euler方程的可控性与Navier-Stokes系统之间的差距。
• 构建一个严格的渐近框架，通过无粘近似与校正项，构造Navier-Stokes+刚体系统的受控解。

提出的方法

• 引入一个小粘性参数，并将系统视为Euler+刚体系统的小扰动进行分析。
• 采用多尺度渐近展开，将解分解为无粘项、边界层项与余项。
• 利用无粘项（u⁰）来模拟主导流体动力学，并通过将刚体运动重新表述为常微分方程，证明其精确可控性。
• 构造边界层校正项（v, w, θ⁰）以考虑固体边界附近的粘性效应及其对刚体轨迹的影响。
• 对一阶项（u¹）应用脉冲控制策略，通过涡度与线性化常微分方程重构，实现对最终速度的控制。
• 通过Faedo-Galerkin方法与能量估计，建立余项的弱解存在性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在远离固体区域施加分布控制，在短时间内精确控制浸没于二维粘性不可压缩流体中的刚体的位置与速度？
• RQ2 与Euler系统相比，带有滑移-摩擦边界条件的Navier-Stokes系统如何影响流体-固体系统的可控性？
• RQ3 在小粘性极限下，边界层校正项在调节粘性对刚体运动影响方面起什么作用？
• RQ4 脉冲控制能否有效用于控制渐近展开中的一阶校正项，以实现期望的最终状态？
• RQ5 趋于零粘性极限在多大程度上保持了无粘情况下的可控性特性？

主要发现

• 本文证明了通过在远离固体区域施加分布控制，可实现对刚体位置与速度的小时间精确可控性。
• 该控制策略依赖于多尺度渐近展开：无粘项（u⁰）可精确可控，边界层校正项（v, w, θ⁰）被构造以处理粘性效应。
• 通过脉冲控制策略对一阶项（u¹）进行控制，实现了对刚体最终速度的精确引导。
• 余项通过Faedo-Galerkin方法进行估计，确保在所构建控制框架下弱解的存在性与连续性。
• 该方法表明，在小粘性极限下，Navier-Stokes+刚体系统可视为Euler+刚体系统的扰动，从而实现可控性的传递。
• 该构造对固体形状具有鲁棒性，当固体非圆形时，可通过共形映射实现扩展。