[论文解读] Control Barrier Functions With Unmodeled Dynamics Using Integral Quadratic Constraints

Peter Seiler, Mrdjan Janković+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种鲁棒控制屏障函数（CBF）设计方法，通过将 $\alpha$-积分二次约束（IQCs）整合到 CBF 框架中，确保在存在未建模动态（如执行器延迟或滞后）的系统中仍能保持安全。该方法利用时域耗散不等式和改进的 Grönwall-Bellman 引理，保证系统在输入不确定性下仍能保持在安全集合内，通过一个具有 0.13 秒延迟的二维质点系统进行了验证。

ABSTRACT

This paper presents a control design method that achieves safety for systems with unmodeled dynamics at the plant input. The proposed method combines control barrier functions (CBFs) and integral quadratic constraints (IQCs). Simplified, low-order models are often used in the design of the controller. Parasitic, unmodeled dynamics (e.g. actuator dynamics, time delays, etc) can lead to safety violations. The proposed method bounds the input-output behavior of these unmodeled dynamics in the time-domain using an alpha-IQC. The alpha-IQC is then incorporated into the CBF constraint to ensure safety. The approach is demonstrated with a simple example.

研究动机与目标

• 解决由于未建模动态（如执行器滞后或时间延迟）导致的控制系统的安全违规问题。
• 将控制屏障函数（CBFs）扩展至处理输入不确定性，而无需对未建模动态的完整状态进行观测。
• 开发一种结合 $\alpha$-IQCs 的鲁棒 CBF 条件，以在时域内约束未建模动态的输入输出行为。
• 确保在存在有界但未知的延迟或动态时，闭环系统的前向完备性与安全性。
• 通过一个二维质点系统具有 0.13 秒延迟的数值例子，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法将控制屏障函数（CBFs）与 $\alpha$-积分二次约束（IQCs）相结合，将未建模动态建模为时域中的有界扰动。
• 利用对未知延迟 $\tau \in [0, \bar{\tau}]$ 的扰动 $\Delta(s) = e^{-s\tau} - 1$ 的频域边界，其中 $\bar{\tau} = 0.13$ s，推导出一个边界滤波器 $\tilde{F}(s)$。
• $\alpha$-IQC 通过平移边界滤波器的频率响应构造而成：$F(s) = \tilde{F}(s + \alpha/2)$，其中 $\alpha = 5$ 为 CBF 参数。
• 利用改进的 Grönwall-Bellman 引理推导出鲁棒 CBF 条件，确保在约束 $\dot{\tilde{h}} - \lambda I \geq -\alpha \tilde{h}$ 下，$\tilde{h}(t) \geq 0$ 蕴含 $h(t) \geq 0$。
• 通过二次规划计算控制输入，以最小化与标称控制器的偏差，同时满足带有拉格朗日乘子 $\lambda$ 的鲁棒 CBF 约束。
• 所得到的控制器被实现为一个安全过滤器，根据状态和滤波器状态 $x_F$ 调整标称控制输入，即使真实延迟未知，也能确保安全。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使控制屏障函数对时间延迟或执行机动态等未建模动态具有鲁棒性？
• RQ2 能否使用 $\alpha$-IQCs 在时域内约束未建模动态的输入输出行为，以确保安全？
• RQ3 未知但有界的延迟对基于 CBF 的控制器的性能和可行性有何影响？
• RQ4 $\alpha$-IQCs 的引入如何影响所得到控制器的保守性和鲁棒性？
• RQ5 能否利用时域耗散不等式和改进的 Grönwall-Bellman 论证推导出鲁棒 CBF 条件？

主要发现

• 采用 $\lambda_x = \lambda_y = 0.1$ 的鲁棒 CBF 控制器，即使在两个控制输入均存在 0.13 秒延迟的情况下，也能成功防止质点进入不安全区域。
• 与标称 CBF 相比，鲁棒控制器在障碍物周围采取了更保守的路径，降低了因未建模动态导致安全违规的风险。
• 与标称 CBF 相比，鲁棒控制器的控制输入表现出更少的振荡，表明其鲁棒性更强且行为更平滑。
• 拉格朗日乘子 $\lambda$ 的值越小，振荡越少但保守性越高；而 $\lambda$ 值越大则会降低可行性并增加风险。
• 基于 $\alpha$-IQC 的方法可确保当 $\tilde{h}(0) \geq 0$ 时，对所有 $t \geq 0$ 都有 $\tilde{h}(t) \geq 0$，从而保证 $h(t) \geq 0$，实现安全。
• 该方法无需测量未建模动态的内部状态，因此适用于实际实现。