[论文解读] Control of Fractional-Order Chua's System

Ivo Petráš|ArXiv.org|Aug 22, 2000

Chaos control and synchronization参考文献 9被引用 47

一句话总结

本论文提出了一种针对总阶为2.9的分数阶蔡氏系统采样数据反馈控制策略，证明通过使用离散时间控制器对系统状态变量实施数字控制，可有效抑制混沌。该方法基于Grünwald-Letnikov定义对分数阶导数进行数值逼近，成功将系统稳定至原点，并通过特定控制器参数与系统动力学的数值仿真验证了该方法的有效性。

ABSTRACT

This paper deals with feedback control of fractional-order Chua's system. The fractional-order Chua's system with total order less than three which exhibit chaos as well as other nonlinear behavior and theory for control of chaotic systems using sampled data are presented. Numerical experimental example is shown to verify the theoretical results.

研究动机与目标

• 研究总阶小于三的分数阶动力系统中混沌行为控制的可行性。
• 将经典混沌控制技术——此前仅应用于整数阶系统——扩展至分数阶系统，采用采样数据反馈方法。
• 证明通过采样状态测量实现的数字控制可有效稳定混沌分数阶蔡氏系统。
• 通过具有实际系统与控制器参数的数值仿真，验证理论框架的有效性。
• 挑战传统观点，即系统阶数仅由微分次数决定，强调分数阶导数在系统动力学中的关键作用。

提出的方法

• 采用状态方程对分数阶蔡氏系统进行建模，使用阶数为 $ q = 0.9 $ 的分数阶导数，使总系统阶数降低至 $ 2.9 $，其中 $ 0 < q \leq 1 $。
• 采用Grünwald-Letnikov定义对分数阶导数进行数值逼近，记忆长度 $ L = 10 $，采样周期 $ T = 0.01 $ s（100 Hz）。
• 在状态空间形式中实现数字反馈控制器，控制器动态由 $ u_1(k+1) = 0.8u_1(k) - 3.3x_1(k) $ 定义，利用间隔为 $ kT $ 的采样状态测量值。
• 控制输入施加于系统的第一状态方程，修改动力学为 $ \frac{dx_1}{dt} = \alpha \,_{0}D^{1-q}_{t}(x_2 - x_1 - f(x_1)) + u_1(t) $，其余状态亦作类似扰动。
• 系统仿真采用初始条件 $ (x_1(0), x_2(0), x_3(0)) = (0.2, -0.1, -0.01) $ 和 $ u_1(0) = 0 $，控制器在离散时间步长下运行。
• 应用分数阶导数的性质——如线性性及与整数阶导数的可交换性——以确保数值求解过程的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过采样数据反馈有效控制总阶小于三的分数阶蔡氏系统的混沌行为？
• RQ2 与整数阶模型相比，分数阶导数的使用如何影响混沌系统的稳定性与控制设计？
• RQ3 采用采样状态测量的数字控制对分数阶混沌系统收敛至平衡点有何影响？
• RQ4 在离散时间下，简单的线性控制器能否稳定具有分段线性非线性的非线性分数阶系统？
• RQ5 通过Grünwald-Letnikov方法对分数阶导数进行数值逼近，是否能在混沌系统中实现可靠且稳定的控制性能？

主要发现

• 总阶为2.9的分数阶蔡氏系统的混沌吸引子通过采样数据反馈控制被成功稳定至原点。
• 如图4所示，状态变量 $ x_1(t), x_2(t), x_3(t) $ 随时间渐近收敛至零，证实了有效稳定。
• 控制信号 $ u_1(t) $（如图5所示）表现出衰减的振荡模式，有效抵消了混沌动力学。
• 控制器参数 $ C = 0.8 $，$ D = -3.3 $，以及 $ B = \text{diag}(1,0,0) $ 经实验确定，可实现稳定收敛。
• 采用 $ L = 10 $ 和 $ T = 0.01 $ s 的Grünwald-Letnikov逼近方法，为分数阶导数提供了稳定且精确的仿真。
• 结果证实，即使总系统阶数低于三，混沌行为也可在分数阶系统中实现控制，挑战了关于混沌最小阶数的传统假设。