[论文解读] The fractional - order controllers: Methods for their synthesis and application

Ivo Petráš|ArXiv.org|Apr 11, 2000

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 210

一句话总结

本文提出了一种改进的根轨迹法，用于合成分数阶控制器（例如，PI^λD^δ），以提升分数阶系统中的控制性能。通过直接针对非整数阶动态系统设计控制器（而非将它们近似为整数阶系统），该方法在稳定性、阻尼和鲁棒性方面表现更优，仿真结果表明其响应速度更快、超调量更小，优于整数阶PID控制器。

ABSTRACT

This paper deals with fractional-order controllers. We outline mathematical description of fractional controllers and methods of their synthesis and application. Synthesis method is a modified root locus method for fractional-order systems and fractional-order controllers. In the next section we describe how to apply the fractional controller on control systems.

研究动机与目标

• 解决在控制器设计过程中，对分数阶系统进行整数阶模型近似所带来的局限性。
• 开发一种系统化的方法，用于合成与分数阶系统真实动态特性相匹配的分数阶控制器（例如，PI^λD^δ）。
• 提升具有非整数阶动态特性的系统的控制性能、稳定性与鲁棒性。
• 提供一种基于分数阶微积分的数值与解析工具的实用控制器设计框架。

提出的方法

• 通过将经典根轨迹法扩展以处理控制器和被控对象传递函数中的非整数阶微分与积分，将其适应于分数阶系统。
• 采用Riemann-Liouville和Grünwald定义的分数阶微分进行数值计算，并引入“短记忆”原理以降低计算负荷。
• 利用分数阶微分的拉普拉斯变换及Mittag-Leffler函数，求解分数阶微分方程的解析解。
• 推导出涉及拉普拉斯变量的分数阶幂的广义特征方程（14），在复平面上求解以确定控制器参数。
• 采用基于Grünwald公式推导出的二项式系数的离散时间控制算法，实现分数阶控制器的数值实现。
• 通过单位阶跃响应的仿真对比，验证了该方法在分数阶系统上对分数阶与整数阶控制器的性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 改进的根轨迹法能否有效应用于分数阶系统的分数阶控制器设计？
• RQ2 在分数阶系统上直接设计控制器是否比基于整数阶近似模型的设计方法具有更优的控制性能？
• RQ3 分数阶控制器（例如，PI^λD^δ）相较于标准整数阶PID控制器，在稳定性与阻尼性能方面有何改善？
• RQ4 非整数阶微分与积分阶次对系统鲁棒性与瞬态响应有何影响？
• RQ5 能否通过“短记忆”原理与二项式系数递推关系，实现分数阶控制器的高效数值实现？

主要发现

• 采用K=20.5、T_d=5.79和δ=0.95的分数阶PD^δ控制器在原始分数阶系统上实现了优于整数阶PD控制器的瞬态响应。
• 基于近似整数阶模型设计的整数阶PD控制器在应用于真实分数阶系统时未能达到预期性能，表现出显著超调与较慢的稳定时间。
• 分数阶控制器有效降低了超调并更快地稳定了系统，表明闭环系统具有更优的动力学特性。
• 分数阶控制器表现出更好的鲁棒性，对系统与控制器参数变化的敏感度更低。
• 仿真结果证实，为控制器设计而对分数阶系统进行整数阶近似会导致性能不足，验证了直接进行分数阶控制器合成的必要性。
• 所提方法通过在复平面上求解广义特征方程（14），成功确定了控制器参数（K、T_d、δ、T_i、λ），以满足期望的稳定性与阻尼指标。