[论文解读] Controllability of 3D Low Reynolds Swimmers

Jérôme Lohéac, Alexandre Munnier|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Micro and Nano Robotics参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文建立了由斯托克斯方程控制的三维微游泳器的可控性，证明了即使在宏观形状变化上叠加任意小的扰动，也能通过形状变形实现任意轨迹的跟踪。此外，研究进一步表明，四种通用的基本形变足以实现自由泳游泳，且在一般代价泛函下证明了最优游泳策略的存在性。

ABSTRACT

In this article, we consider a swimmer (i.e. a self-deformable body) immersed in a fluid, the flow of which is governed by the stationary Stokes equations. This model is relevant for studying the locomotion of microorganisms or micro robots for which the inertia effects can be neglected. Our first main contribution is to prove that any such microswimmer has the ability to track, by performing a sequence of shape changes, any given trajectory in the fluid. We show that, in addition, this can be done by means of arbitrarily small body deformations that can be superimposed to any preassigned sequence of macro shape changes. Our second contribution is to prove that, when no macro deformations are prescribed, tracking is generically possible by means of shape changes obtained as a suitable combination of only four elementary deformations. Eventually, still considering finite dimensional deformations, we state results about the existence of optimal swimming strategies for a wide class of cost functionals.

研究动机与目标

• 确定在斯托克斯流体中，三维微游泳器是否能通过自身形变实现任意轨迹跟踪。
• 研究这种可控性是否可通过叠加在预设宏观形变序列上的任意小形状变化实现。
• 在未指定宏观运动的情况下，确定实现通用轨迹跟踪所需的最少基本形变数量。
• 在广泛类别的代价泛函下，建立最优游泳策略的存在性。

提出的方法

• 游泳器被建模为单位球体的$C^1$-微分同胚形变，形状变化由$\vartheta_t \in W^{1,1}([0,T], D^1_0(\mathbb{R}^3))$参数化。
• 流体中的水动力力和流场由在体固定参考系中的定常斯托克斯方程控制，边界条件定义在形变后的游泳器表面$\Sigma_t = \Theta_t(\Sigma)$上。
• 通过$\varUpsilon = \text{Id} + \xi$的变量变换，将问题映射到参考域，从而能够利用加权索伯列夫空间和迹定理进行分析。
• 通过加权索伯列夫空间之间的双连续同构关系，以及在形变域中斯托克斯问题的使用，建立了流固耦合问题解的存在性与正则性。
• 应用了几何控制理论来分析可控性，利用由形状形变所定义的控制系统结构。
• 在$W^{1,1}$中弱收敛序列的背景下，通过紧致性与下半连续性论证，证明了最优游泳策略的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在斯托克斯流体中，自变形微游泳器是否能仅通过形状变化实现三维空间中任意预设轨迹的跟踪？
• RQ2 是否可能通过叠加在任意预设宏观形状序列上的任意小形状变化实现轨迹跟踪？
• RQ3 在无预设宏观运动的自由泳游泳模式下，实现通用可控性所需的最少基本形变数量是多少？
• RQ4 对于包括能量或时间最小化在内的广泛类别的代价泛函，是否存在最优游泳策略？

主要发现

• 控制游泳器运动的动力系统是可控的：对于$\mathbb{R}^3 \times \text{SO}(3)$中的任意给定轨迹，均存在一个形状变化序列，可使游泳器任意接近该轨迹。
• 可控性可通过任意小的形状形变实现，这些形变可叠加在任意预设的宏观形状序列之上——这被称为“同步游泳”。
• 在自由泳游泳模式下（无宏观形变），只要满足轻微横截性条件，仅需四种通用基本形变即可实现可控性。
• 对于包括能量、时间或位移在内的广泛类别的代价泛函，最优游泳策略的存在性已得到证明。
• 流固耦合问题的解算子被证明是双连续同构，确保了在形状变化下问题的适定性与稳定性。
• 分析依赖于映射到固定参考域的变量变换，以及加权索伯列夫空间的使用，以在形变构型中保持正则性与强制性。