[论文解读] Controllability of the Navier-Stokes equation in a rectangle with a little help of a distributed phantom force

Jean‐Michel Coron, Frédéric Marbach+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 36被引用 3

一句话总结

本论文通过引入在任意Sobolev范数下均可任意小的分布式幻影力，建立了矩形区域内2D不可压缩Navier-Stokes方程在上下边界无滑移条件下小时间全局精确边界可控性。该方法结合了分析正则化、良好准备耗散技术，以及一种仅依赖于水平解析性的新型长时间Cauchy-Kovalevskaya估计，以控制大边界层。

ABSTRACT

We consider the 2D incompressible Navier-Stokes equation in a rectangle with the usual no-slip boundary condition prescribed on the upper and lower boundaries. We prove that for any positive time, for any finite energy initial data, there exist controls on the left and right boundaries and a distributed force, which can be chosen arbitrarily small in any Sobolev norm in space, such that the corresponding solution is at rest at the given final time. Our work improves earlier results where the distributed force is small only in a negative Sobolev space. It is a further step towards an answer to Jacques-Louis Lions' question about the small-time global exact boundary controllability of the Navier-Stokes equation with the no-slip boundary condition, for which no distributed force is allowed. Our analysis relies on the well-prepared dissipation method already used for Burgers and for Navier-Stokes in the case of the Navier slip-with-friction boundary condition. In order to handle the larger boundary layers associated with the no-slip boundary condition, we perform a preliminary regularization into analytic functions with arbitrarily large analytic radius and prove a long-time nonlinear Cauchy-Kovalevskaya estimate relying only on horizontal analyticity.

研究动机与目标

• 解决Jacques-Louis Lions提出的关于无滑移边界条件下Navier-Stokes方程小时间全局精确边界可控性的开放问题。
• 将先前仅需负Sobolev范数有界性的结果推广至任意Sobolev范数下的更强小性条件。
• 发展一种处理无滑移条件引起的更大边界层的框架，通过分析正则化与精细能量估计实现。
• 建立在Sobolev范数中一致小的分布力下全局近似可控性，从而实现精确终态控制。

提出的方法

• 引入在任意Sobolev范数 $ H^k $ 下均可任意小的分布式幻影力，实现控制而不违反小性约束。
• 对初始数据进行初步正则化，使其成为具有任意大解析半径的解析函数，以处理边界层不稳定性。
• 应用良好准备耗散方法，控制Navier-Stokes系统中非线性相互作用与边界层增长。
• 执行一种仅依赖于水平解析性的长时间非线性Cauchy-Kovalevskaya估计，受[6, 41]启发，以控制非线性项。
• 将解分解为近似轨迹与余项，分别通过Littlewood-Paley理论与频率局部化进行估计。
• 采用快速变量缩放与Lebesgue范数估计，分析边界层剖面的衰减并确保一致控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在矩形区域中，对于无滑移边界条件的2D Navier-Stokes方程，是否能仅通过边界控制与小的分布力在小时间内精确控制到零？
• RQ2 分布力的大小是否可被控制为在任意Sobolev范数 $ H^k $ 下任意小，而不仅限于负Sobolev空间？
• RQ3 在小时间可控性背景下，如何控制由无滑移条件引起的大型边界层？
• RQ4 水平解析性在长时间尺度上对稳定非线性Navier-Stokes系统起到何种作用？
• RQ5 良好准备耗散方法是否可被调整以应对无滑移条件相较于Navier滑移摩擦情况更强的边界层效应？

主要发现

• 对任意 $ T > 0 $，初始数据 $ u_* \neq 0 $，以及任意 $ k \to \nexists $，存在一个非零的分布力 $ f_g \neq 0 $，使得解满足 $ u(T) = 0 $，且 $ \|f_g\|_{L^1((0,T);H^k)} \leq \eta $ 对任意 $ \eta > 0 $ 成立。
• 分布力 $ f_g $ 可在任意Sobolev范数 $ H^k $ 下任意小，优于先前仅要求负Sobolev空间有界性的结果。
• 该方法依赖于一种新颖的长时间非线性Cauchy-Kovalevskaya估计，仅依赖于水平解析性，从而在存在大边界层的情况下仍能控制非线性项。
• 解被构造为 $ C^0([0,T];L^2_{\text{div}}) \cap L^2((0,T);H^1) $ 中的弱Leray解，满足适当的测试函数下的弱形式。
• 分析通过频率局部化与指数权 $ e^{\rho_0 |\partial_x|} $ 建立了近似轨迹解析正则性的统一有界性，确保稳定性。
• 通过快速变量缩放与Lebesgue范数估计证明了边界层衰减，关键衰减结果依赖于边界层剖面中的 $ n \geq 3 $。