[论文解读] Convergence analysis of upwind type schemes for the aggregation equation with pointy potential

François Delarue, Frédéric Lagoutière+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 54被引用 10

一句话总结

本文针对具有尖点势能的聚集方程，提出了迎风有限体积格式的收敛性分析——即非光滑、非局部相互作用力导致速度场不连续的势能。利用Filippov流理论，作者证明了在Wasserstein距离下收敛阶为1/2，首次在低正则性势能的测度值解框架下建立了此类格式的最优收敛速率。

ABSTRACT

A numerical analysis of upwind type schemes for the nonlinear nonlocal aggregation equation is provided. In this approach, the aggregation equation is interpreted as a conservative transport equation driven by a nonlocal nonlinear velocity field with low regularity. In particular, we allow the interacting potential to be pointy, in which case the velocity field may have discontinuities. Based on recent results of existence and uniqueness of a Filippov flow for this type of equations, we study an upwind finite volume numerical scheme and we prove that it is convergent at order 1/2 in Wasserstein distance. This result is illustrated by numerical simulations, which show the optimality of the order of convergence.

研究动机与目标

• 分析具有非光滑、尖点相互作用势能的聚集方程的迎风型有限体积格式的收敛性。
• 解决由奇异、非凸势能引起的低正则性速度场导致的不连续性问题。
• 在测度值解框架下，为数值格式建立严格的收敛速率，特别是在光滑解发生爆破的情况下。
• 通过一维和二维的数值模拟验证理论收敛阶。
• 展示该格式相较于Lax-Friedrichs等现有方法具有更强的鲁棒性及更少的数值扩散。

提出的方法

• 将聚集方程表述为由尖点势能梯度导出的非局部、非光滑速度场驱动的守恒型输运方程。
• 应用Filippov的微分包含理论，即使在速度场不连续的情况下，也构造出唯一流。
• 开发迎风有限体积格式以离散输运方程，在低正则性假设下确保稳定性和相容性。
• 采用Wasserstein距离作为误差度量，衡量数值解与真实测度值解之间的收敛性。
• 通过利用Filippov流的稳定性和离散对偶性论证，建立在Wasserstein距离下收敛阶为1/2的结果。
• 在一维和二维中进行数值模拟，采用径向尖点势能（如$W(x) = 1 - e^{-5|x|}$和$W(x) = 5|x|$），并使用紧支集初始数据，以验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当相互作用势能为尖点势能且速度场不连续时，迎风有限体积格式在聚集方程中的收敛速率是多少？
• RQ2 Filippov流理论是否能有效用于在势能低正则性假设下，证明测度值框架下解的存在性与唯一性？
• RQ3 所提出的迎风格式在非光滑、非局部速度场存在时是否仍能保持稳定性和收敛性？
• RQ4 该格式的收敛速率与Lax-Friedrichs等其他数值方法相比如何，特别是在数值扩散方面？
• RQ5 不同尖点势能（如$1 - e^{-5|x|}$与$5|x|$）如何影响聚集动力学及Dirac delta形成的时间？

主要发现

• 迎风有限体积格式在Wasserstein距离下以$1/2$阶收敛于真实测度值解，该结果被证明为最优。
• 收敛结果在假设相互作用势能为尖点势能——即$ abla W$在原点处不连续，且满足(A0)–(A3)，且$ abla W$在零点外为Lipschitz连续——下成立。
• 一维和二维的数值模拟验证了理论收敛阶，表明该格式的数值扩散少于Lax-Friedrichs等先前方法。
• 对于具有多个波峰的初始数据，该格式能够捕捉到簇体依次聚合成单一Dirac delta的过程，与已知的爆破动力学一致。
• 势能的选择显著影响聚集动力学：$W(x) = 1 - e^{-5|x|}$导致更快的、局域于角点的集中，而$W(x) = 5|x|$则导致更均匀的边缘集中并延迟Dirac delta的形成。
• 该格式成功模拟了爆破后的行为，包括Dirac质量的形成，即使在高维情况下，也优于粒子方法的实用性。