[论文解读] Convergence in capacity on compact Kähler manifolds

Sławomir Dinew, Phạm Hoàng Hiệp|ArXiv.org|Apr 27, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文在紧致凯勒流形上，针对紧致凯勒流形上的Cegrell类 $υ(X,\omega)$ 中函数序列，建立了关于容量收敛的精确稳定性与收敛性结果。通过利用拟凸分析理论中的新估计以及关于 $C_{X,\omega}$-容量的统一绝对连续性，证明了 $L^1$-收敛性与Monge-Ampère测度的统一控制可推出容量收敛性，从而消除了以往所需的有界性或下界条件假设。

ABSTRACT

The aim of this note is to study the convergence in capacity for functions in the class $\mathcal E(X,ω)$. We obtain several stability theorems. Some of these are (optimal) generalizations of results of Xing, while others are new.

研究动机与目标

• 在紧致凯勒流形上，为Cegrell类 $υ(X,\omega)$ 中的容量收敛建立最优稳定性定理。
• 通过消除统一下界或有界性等技术性假设，推广并加强Xing与Kołodziej的先前结果。
• 证明即使在无有界性假设下，$L^1$-收敛性与Monge-Ampère测度的统一控制仍可推出容量收敛性。
• 证明相对于 $C_{X,\omega}$-容量的测度统一绝对连续性，足以保证在容量收敛下的稳定性。

提出的方法

• 利用Kołodziej引入并由Guedj-Zeriahi研究的 $C_{X,\omega}$-容量，其定义为在有界 $\omega$-psh 函数上Monge-Ampère质量的上确界。
• 应用Cegrell类 $υ(X,\omega)$，即其中Monge-Ampère算子有定义且总质量保持不变的 $\omega$-psh 函数类。
• 采用截断技术：定义 $u_{jt} = \max(u_j, -t)$，$u_t = \max(u, -t)$，并利用其在容量收敛下控制奇点。
• 应用Monge-Ampère测度的比较原理：对 $T$ 为 $\omega$-psh 当量的乘积，有 $\int_{\{u \leq v\}} \omega_{\max(u,v)}^k \wedge T = \int_{\{u \leq v\}} \omega_u^k \wedge T$。
• 应用 $\omega_{v_j}^n$ 相对于 $C_{X,\omega}$ 的统一绝对连续性，确保小容量集合具有小测度质量。
• 结合在 $u_j < u - \delta$ 的集合上的估计，通过分解为 $\{u_j \leq -t\}$，$\{u \leq -t\}$，$\{v_j \leq -t\}$ 以及 $\{u_{jt} > u_t + \epsilon\}$，利用容量衰减与测度控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设有界性或统一下界的情况下，是否可为 $\u03c5(X,\omega)$ 中的序列建立容量收敛性？
• RQ2 在何种条件下，$L^1$-收敛性与Monge-Ampère测度的统一控制可推出容量收敛性？
• RQ3 相对于 $C_{X,\omega}$-容量的Monge-Ampère测度的统一绝对连续性如何影响稳定性定理？
• RQ4 Xing与Kołodziej的稳定性结果在多大程度上可推广至完整的 $\u03c5(X,\omega)$ 类？
• RQ5 截断 $\max(u_j, -t)$ 在控制奇点与证明容量收敛性中起什么作用？

主要发现

• 论文证明：若 $u_j \to u$ 在 $L^1(X)$ 中收敛，且存在 $A > 1$ 使得 $\omega_{u_j}^n \leq A \omega_{v_j}^n$，同时 $v_j \to v$ 在 $C_{X,\omega}$ 中收敛，则即使无有界性或下界假设，也有 $u_j \to u$ 在 $C_{X,\omega}$ 中收敛。
• 关键估计为 $\varlimsup_{j\to\infty} \int_{\{u_j < u - \delta\}} \omega_{u_j}^n \leq \sup_{j \geq 1} \int_{\{u_j \leq -t\} \cup \{u \leq -t\} \cup \{v_j \leq -t\}} \omega_{v_j}^n + \frac{2\epsilon}{\delta}$，当 $t \to \infty$ 且 $\epsilon \to 0$ 时趋于零。
• 若 $\omega_{v_j}^n$ 相对于 $C_{X,\omega}$ 具有统一绝对连续性，则对固定的 $t, \epsilon > 0$，有 $\int_{\{u_{jt} > u_t + \epsilon\}} \omega_{v_{jt}}^n \to 0$ 当 $j \to \infty$。
• 通过 [Ce3] 可建立 $\int_X (u_t - u_{jt}) \omega_{v_t}^n \to 0$，其依赖于 $L^1$-收敛性与截断控制。
• $C_{X,\omega}(\{u_{jt} > u_t + \epsilon\}) \to 0$ 当 $j \to \infty$，由Hartogs引理与截断稳定性得出。
• 该结果推广了Xing（2005）定理5与Kołodziej（2005）定理3.4，消除了对固定下界函数 $v_0 \in \u03c5(X,\omega)$ 的需求。