[论文解读] Convergence in Density of Splitting AVF Scheme for Stochastic Langevin Equation

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文建立了非全局单调系数下随机Langevin方程分裂平均向量场（AVF）格式在密度意义上的收敛性。通过利用Malliavin微积分，证明了数值解密度的存在性与光滑性，并表明该密度收敛速率与格式的最优强收敛速率一致，即一阶（O(h)）。

ABSTRACT

In this article, we study the density function of the numerical solution of the splitting averaged vector field (AVF) scheme for the stochastic Langevin equation. To deal with the non-globally monotone coefficient in the considered equation, we first present the exponential integrability properties of the exact and numerical solutions. Then we show the existence and smoothness of the density function of the numerical solution by proving its uniform non-degeneracy in Malliavin sense. In order to analyze the approximate error between the density function of the exact solution and that of the numerical solution, we derive the optimal strong convergence rate in every Malliavin--Sobolev norm of the numerical scheme via Malliavin calculus. Combining the approximation result of Donsker's delta function and the smoothness of the density functions, we prove that the convergence rate in density coincides with the optimal strong convergence rate of the numerical scheme.

研究动机与目标

• 解决针对具有超线性增长系数和退化噪声的随机Langevin方程数值格式在密度收敛性方面理论结果的缺乏问题。
• 研究分裂AVF格式的数值解是否继承精确解密度函数的光滑性。
• 在非全局单调系数条件下，建立精确解与数值解密度函数之间的收敛速率。
• 弥合具有复杂非线性的SDE数值格式强收敛性与密度收敛性之间的差距。

提出的方法

• 推导精确解与数值解的指数可积性性质，以处理非全局单调系数。
• 应用Malliavin微积分证明数值解Malliavin协方差矩阵的统一非退化性，从而确保其密度的存在性与光滑性。
• 利用Malliavin微积分技术在每个Malliavin–Sobolev范数下建立最优强收敛速率。
• 利用Donsker的δ函数逼近方法，将密度收敛性与强收敛速率联系起来。
• 证明数值解Malliavin协方差矩阵的最小特征值远离零，从而确保统一非退化性。
• 结合Malliavin–Sobolev空间中数值解的正则性估计与协方差矩阵行列式的逆的矩界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非全局单调系数的随机Langevin方程，分裂AVF格式是否产生具有明确定义密度函数的数值解？
• RQ2 在Hörmander型条件下，数值解的密度是否继承精确解密度的光滑性？
• RQ3 精确解与数值解密度函数之间的收敛速率是多少？
• RQ4 能否证明密度收敛性与格式的最优强收敛速率一致？
• RQ5 指数可积性与Malliavin正则性在超线性增长条件下如何共同促进密度收敛性的证明？

主要发现

• 由于Malliavin协方差矩阵的统一非退化性，分裂AVF格式的数值解具有光滑密度函数。
• Malliavin协方差矩阵的逆具有所有阶矩，确保密度在L^∞−范数下光滑且有界。
• 精确解与数值解之间在密度意义上的收敛速率被证明为O(h)，与格式的最优强收敛速率一致。
• 该结果适用于非全局单调系数，扩展了以往仅限于全局Lipschitz或有界系数的研究结果。
• 数值实验验证了O(h)的均方收敛速率，与理论发现一致。
• 分析依赖于指数矩估计、Malliavin微积分与Donsker的δ函数逼近的创新性结合。