[论文解读] Convergence of a decoupled mixed FEM for the dynamic Ginzburg--Landau equations in nonsmooth domains with incompatible initial data

Buyang Li|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于非光滑、可能非凸且多连通的3D区域中时间依赖的Ginzburg–Landau方程的解耦混合有限元方法（FEM），其初始数据不相容。通过引入一种保持有界离散能量的时间步进格式，并结合新颖的离散Sobolev嵌入与$σ$-正则性估计，作者证明了有限元解在无需对精确解施加光滑性假设的情况下，对弱解实现无条件收敛，即使在不规则几何中亦成立。

ABSTRACT

In this paper, we propose a fully discrete mixed finite element method for solving the time-dependent Ginzburg--Landau equations, and prove the convergence of the finite element solutions in general curved polyhedra, possibly nonconvex and multi-connected, without assumptions on the regularity of the solution. Global existence and uniqueness of weak solutions for the PDE problem are also obtained in the meantime. A decoupled time-stepping scheme is introduced, which guarantees that the discrete solution has bounded discrete energy, and the finite element spaces are chosen to be compatible with the nonlinear structure of the equations. Based on the boundedness of the discrete energy, we prove the convergence of the finite element solutions by utilizing a uniform $L^{3+δ}$ regularity of the discrete harmonic vector fields, establishing a discrete Sobolev embedding inequality for the Nédélec finite element space, and introducing a $\ell^2(W^{1,3+δ})$ estimate for fully discrete solutions of parabolic equations. The numerical example shows that the constructed mixed finite element solution converges to the true solution of the PDE problem in a nonsmooth and multi-connected domain, while the standard Galerkin finite element solution does not converge.

研究动机与目标

• 建立在一般曲多面体区域中对动态Ginzburg–Landau方程的全离散混合FEM的收敛性，且最小化正则性假设。
• 解决标准Galerkin FEM可能在不相容初始数据和非光滑区域中失效的挑战。
• 开发一种保持有界离散能量的时间步进格式，确保在不规则几何中的稳定性。
• 证明在非光滑区域中PDE问题的弱解的全局存在性与唯一性。
• 为抛物系统建立Nédélec有限元空间的离散Sobolev嵌入不等式，并推导$σ$-正则性估计。

提出的方法

• 引入解耦时间步进格式以确保有界离散能量，避免非线性系统中的耦合问题。
• 采用混合有限元方法，使用Nédélec元处理矢量势，使用一致有限元处理序参量，以确保与非线性结构的相容性。
• 采用离散Hodge分解以分析调和矢量场，并建立离散调和分量在$L^{3+\delta}$范数下的统一有界性。
• 为Nédélec有限元空间推导出新颖的离散Sobolev嵌入不等式，对处理不规则区域至关重要。
• 为全离散抛物方程的解发展新的$\ell^{2}(W^{1,3+\delta})$估计，以控制非线性项。
• 收敛性证明依赖于紧致性论证与基于离散能量与正则性范数统一有界的Gronwall型估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非光滑、多连通的3D区域中，全离散混合FEM能否对动态Ginzburg–Landau方程实现收敛？
• RQ2 所提出的解耦格式是否保持有界离散能量，并在不相容初始数据下确保稳定性？
• RQ3 能否在一般曲多面体中建立离散调和矢量场的统一$L^{3+\delta}$正则性？
• RQ4 是否可能在不假设精确解光滑性的前提下证明收敛性？
• RQ5 能否为不规则区域中的Nédélec有限元空间推导出离散Sobolev嵌入不等式？

主要发现

• 有限元解在一般曲多面体中收敛于PDE问题的弱解，即使区域为非凸或多连通。
• 该方法在无需精确解光滑性假设的情况下实现收敛，将结果扩展至正则性有限的区域。
• 为Nédélec有限元空间建立了离散Sobolev嵌入不等式，使在不规则几何中能够控制非线性项。
• 推导并应用了全离散抛物解的$σ$-正则性估计$\ell^{2}(W^{1,3+\delta})$，以界定了非线性项。
• 数值实验表明，混合FEM在标准Galerkin FEM失效的非光滑区域中仍能收敛。
• 在给定规范条件下，证明了非光滑区域中PDE问题的弱解的全局存在性与唯一性。