[论文解读] Convergence of an Euler discretisation scheme for the Heston stochastic-local volatility model with CIR interest rates

Andrei Cozma, Christoph Reisinger|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文针对外汇市场中的Heston-CIR随机局部波动率模型，提出了一种全截断欧拉方案，证明了在完全相关性和现实杠杆函数假设下，汇率近似值的强收敛性以及平方根过程的指数可积性。主要贡献在于对欧式期权和路径依赖型期权的蒙特卡洛估计器实现了严格的收敛性分析。

ABSTRACT

We consider the Heston-CIR stochastic-local volatility model in the context of foreign exchange markets, which contains both a stochastic and a local volatility component for the exchange rate combined with the Cox-Ingersoll-Ross dynamics for the domestic and foreign interest rates. We study a full truncation scheme for simulating the stochastic volatility component and the two interest rates and derive the exponential integrability of full truncation Euler approximations for the square root process. Under a full correlation structure and a realistic set of assumptions on the so-called leverage function, we prove strong convergence of the exchange rate approximations and then deduce the convergence of Monte Carlo estimators for a number of vanilla and path-dependent options.

研究动机与目标

• 建立外汇市场中Heston-CIR随机局部波动率模型的欧拉时间离散化方案的强收敛性。
• 分析控制随机波动率和利率的平方根过程的全截断欧拉近似值的指数可积性。
• 在完全相关结构下，验证欧式期权和路径依赖型期权的蒙特卡洛估计器的收敛性。
• 为结合随机波动率、局部波动率和CIR利率的数值定价提供严格的数学基础。
• 将现有收敛结果扩展至具有现实杠杆函数和所有随机驱动因子间完全相关性的模型。

提出的方法

• 对由CIR动态控制的随机波动率及两个利率过程应用全截断欧拉方案进行离散化。
• 建立了全截断欧拉近似值在平方根过程上的指数可积性，这是实现收敛性的关键技术要求。
• 在汇率、随机波动率以及本币和外币利率之间施加完全相关结构。
• 基于对杠杆函数的现实假设，以确保方案的稳定性和收敛性。
• 利用汇率近似值的强收敛性，推导出期权价格蒙特卡洛估计器的收敛性。
• 采用伊藤微积分和矩界分析离散化误差，确保在给定条件下的路径收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有局部波动率和相关随机驱动因子的Heston-CIR模型中，全截断欧拉方案是否具有强收敛性？
• RQ2 对杠杆函数的何种条件可确保CIR过程的全截断欧拉近似值具有指数可积性？
• RQ3 在完全相关结构下，是否能严格建立欧式期权和路径依赖型期权的蒙特卡洛估计器的收敛性？
• RQ4 全截断方案如何保持CIR利率和波动率过程的正定性与稳定性？
• RQ5 相关结构对方案的收敛速度和数值稳定性有何影响？

主要发现

• 在完全相关结构和现实杠杆函数假设下，全截断欧拉方案确保了汇率近似值的强收敛性。
• 对CIR过程的全截断欧拉近似值的指数可积性得到了严格证明，从而支持矩控制和收敛性分析。
• 通过汇率近似值的强收敛性，推导出欧式期权和路径依赖型期权的蒙特卡洛估计器的收敛性。
• 通过全截断技术，该方法保持了利率和波动率过程的数值稳定性和正定性。
• 理论框架支持在Heston-CIR模型中实现可靠的期权定价，即使在完全相关性下亦成立。
• 研究结果将欧拉方案的适用范围扩展至具有多个随机分量和现实动态的复杂外汇模型。