[论文解读] Convergence of Bayesian Nash Equilibrium in Infinite Bayesian Games under Discretization

Linan Huang, Quanyan Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2021

Game Theory and Applications参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文在效用函数和先验分布连续的假设下，证明了具有连续类型和有限动作的一般和无限贝叶斯博弈中贝叶斯纳什均衡（BNE）的存在性。它证明了无限博弈的BNE策略可通过一系列离散化有限博弈的BNE策略的弱收敛来逼近，从而实现通过离散化和求解有限近似模型来构造计算 $\varepsilon$-BNE 的算法。

ABSTRACT

We prove the existence of Bayesian Nash Equilibrium (BNE) of general-sum Bayesian games with continuous types and finite actions under the conditions that the utility functions and the prior type distributions are continuous concerning the players' types. Moreover, there exists a sequence of discretized Bayesian games whose BNE strategies converge weakly to a BNE strategy of the infinite Bayesian game. Our proof establishes a connection between the equilibria of the infinite Bayesian game and those of finite approximations, which leads to an algorithm to construct $\varepsilon$-BNE of infinite Bayesian games by discretizing players' type spaces.

研究动机与目标

• 证明在具有连续类型和有限动作的一般和贝叶斯博弈中，贝叶斯纳什均衡（BNE）的存在性。
• 证明无限博弈的BNE策略可由一系列离散化有限博弈的BNE策略逼近。
• 提出一种构造性算法，通过离散化和求解有限博弈近似模型，计算无限贝叶斯博弈的 $\varepsilon$-BNE。
• 通过与 $[0,1]$ 的基数等价性，将理论收敛结果推广至 $N$-玩家博弈和更高维紧致类型空间。

提出的方法

• 将BNE条件重新表述为分布形式，以支持弱收敛分析。
• 利用任一不可数且基数为连续统的紧致度量空间同胚于 $[0,1]$ 的事实，将结果推广至 $[0,1]$ 之外的范围。
• 通过均匀或自适应划分构造连续类型空间的一系列有限离散化。
• 在效用函数和先验分布连续的条件下，证明来自离散化博弈的BNE策略弱收敛于原始无限博弈的BNE策略。
• 设计算法1，迭代地对博弈进行离散化，求解有限近似模型，并通过性能验证条件检查 $\varepsilon$-BNE。
• 将有限博弈的解重新表述为双线性规划 $C^K$，在特定条件下，通过适当选择权重 $\alpha_i(\theta_i)$ 将其简化为线性规划。

实验结果

研究问题

• RQ1 在效用函数和先验分布连续的条件下，一般和无限贝叶斯博弈中是否存在贝叶斯纳什均衡？
• RQ2 无限贝叶斯博弈的BNE是否可由一系列有限离散化博弈的BNE策略逼近？
• RQ3 有限近似博弈的BNE策略序列是否弱收敛于原始无限博弈的BNE？
• RQ4 能否构造一种算法，通过离散化和求解有限博弈来计算无限博弈的 $\varepsilon$-BNE？
• RQ5 在何种条件下，有限博弈解的双线性规划可被简化为线性规划？

主要发现

• 在效用函数和先验分布连续的假设下，证明了一般和无限贝叶斯博弈中贝叶斯纳什均衡的存在性，其类型为连续型，动作集为有限。
• 存在一系列离散化有限贝叶斯博弈，使得这些博弈的BNE策略弱收敛于原始无限博弈的BNE策略。
• 通过与 $[0,1]$ 的同胚关系，该收敛结果可推广至 $N$-玩家一般和博弈及更高维紧致类型空间。
• 提出一种算法，通过迭代离散化类型空间并求解有限近似模型，计算无限博弈的 $\varepsilon$-BNE。
• 当满足特定条件 $m_2(\theta_2)\bar{u}^{x,y}(\theta_1,\theta_2) = -m_1(\theta_1)\bar{v}^{x,y}(\theta_1,\theta_2)$ 时，通过选择 $\alpha_i(\theta_i) = \bar{b}_i(\theta_i)/m_i(\theta_i)$，可将双线性规划 $C^K$ 重述为线性规划。
• 该算法提供了 $\varepsilon$-BNE 的有限步验证，通过在每个离散化层级检查均衡条件，避免了有限近似带来的误导性结果。