[论文解读] Convergence of Hermitian-Yang-Mills Connections on Kähler Surfaces and mirror symmetry

Takeo Nishinou|ArXiv.org|Jan 28, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文研究了在具有拉格朗日子丛的凯勒环面 $T^4$ 上，厄米特-杨-米尔斯联络在绝热极限下的行为，表明可约联络通过镜像对称收敛于特殊拉格朗日子流形。关键结果是通过一族稳定全纯丛（类型 B D-膜）几何构造出类型 A D-膜（特殊拉格朗日子流形），其中极限联络在奇异拉格朗日子流形上形成平坦联络。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to exhibit a natural construction between complex geometry and symplectic geometry following the idea of mirror symmetry. Suppose we are given a family of pairs of 2-dimensional Kähler tori and stable holomorphic vector bundles on them $(\hat M_{\ep}, E_{\ep})$, \ep \in (0, 1]$, and each has structure of a Lagrangian torus fibration $π:\hat M_{\ep} o B$ whose fibers are of diameter $O(\ep)$, and let $A_{\ep}$ be a family of hermitian Yang-Mills(HYM) connections on $E_{\ep}$. As $\ep$ goes to zero, $A_{\ep}$ will, modulo possible bubbles, converge to a connection which is flat on each fiber. Since each fiber is a torus, limit connection will determine elements of the dual torus, which are points of the fiber of the mirror $M_1$. These points gather to make up (special) Lagrangian variety.

研究动机与目标

• 分析在纤维直径趋于零的绝热极限下，$T^4$ 上厄米特-杨-米尔斯联络的极限行为。
• 将先前关于不可约联络的结果推广至纤维上可约联络的情形。
• 在镜像流形上，通过规范理论方法构造特殊拉格朗日子流形（类型 A D-膜），其来源于稳定全息丛（类型 B D-膜）。
• 通过 SYZ 图像与镜像对称性，建立稳定全息丛与特殊拉格朗日子簇之间的对应关系。
• 为大复结构极限下的规范理论奠定基础，该极限与镜像对称性及唐纳森-弗洛尔理论密切相关。

提出的方法

• 分析 $T^4 \to T^2_B$ 上厄米特-杨-米尔斯联络在 Hessian 几何下的绝热极限，允许纤维上存在可约联络。
• 利用超凯勒旋转将凯勒结构转化为自对偶联络设定，从而借助 instanton 理论进行分析。
• 应用 Kobayashi-Hitchin 对应关系，将稳定全息丛与极限中的 HYM 联络联系起来。
• 将拉格朗日子流形 $L$ 构造为赋予来自 $A_{\epsilon_\nu}$ 曲率衰减的平坦联络的纤维的极限。
• 通过证明全纯体积形式的虚部在 $L$ 上消失，证明 $L$ 是特殊拉格朗日子流形，利用 $c_1 = 0$ 条件及 $a_i, b_i$ 相关恒等式。
• 在曲率上使用 $L^\infty$ 估计，并利用 $F_{A_{\epsilon_\nu}}$ 的指数衰减，推导出极限平坦联络 $\Phi ds + \Psi dt$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $T^4$ 上，当联络在纤维上可约时，厄米特-杨-米尔斯联络在绝热极限下的行为如何？
• RQ2 在镜像对称下，能否作为全纯丛族的极限构造出特殊拉格朗日子流形？
• RQ3 大复结构极限在通过镜像对称性将规范理论与辛几何联系起来的过程中起什么作用？
• RQ4 极限拉格朗日子流形上的平坦联络如何从 HYM 联络的曲率衰减中产生？
• RQ5 Dostoglou-Salamon 关于自对偶联络的方法在多大程度上可推广至可约 HYM 联络？

主要发现

• 在纤维上具有可约结构的厄米特-杨-米尔斯联络的极限收敛于凯勒环面 $T^4$ 中的特殊拉格朗日子流形 $L$。
• 在 $c_1 = 0$ 条件下，全纯体积形式的虚部在 $L$ 上消失，从而证明 $L$ 是特殊拉格朗日子流形。
• 极限联络 $\Phi ds + \Psi dt$ 在 $L$ 的光滑部分上是平坦的，其来源于 ASD 方程在 $\epsilon_\nu \to 0$ 时的极限。
• 曲率 $\parallel F_{A_{\epsilon_\nu}} \parallel_{L^\infty}$ 在 $T_B^2 \setminus S$ 上指数衰减至零，从而保证了极限的平坦性。
• 该构造提供了镜像对称性的规范理论实现：类型 B D-膜（稳定丛）在大结构极限下映射为类型 A D-膜（特殊拉格朗日子流形）。
• 该方法可推广至不可约情形，并提供了文献 [5] 结果的更强版本，适用于 Ooguri-Vafa 空间及唐纳森-弗洛尔理论。