[论文解读] Fukaya category and Fourier transform

Dmitry Arinkin, Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Nov 4, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 40

一句话总结

本文为实环族的傅里叶-穆凯伊变换构造了一个 $C^{∞}$ 版本，定义了一个从带有局部系统的拉格朗日子流形（与 Fukaya 族相关）到对偶复族上全纯向量丛的函子。关键结果建立了全纯丛的 Dolbeault 复形与局部系统上修改后的 de Rham 复形之间的同构，为椭圆曲线的同调镜像对称提供了概念性实现。

ABSTRACT

We construct a version of Fourier transform for families of real tori. This transform defines a functor from certain category associated with a symplectic family of tori to the category of holomorphic vector bundles on the dual family (the dual family has a natural complex structure). In the 1-dimensional case the former category is closely related to the Fukaya category.

研究动机与目标

• 为辛环的导出 Fukaya 族与对偶复环上的凝聚层导出范畴之间的同调镜像对称等价关系，提供一个概念性、函子性的构造。
• 将经典傅里叶变换推广至配备辛纤维化的实环族，实现带有局部系统的拉格朗日子流形与对偶族上全 holomorphic 向量丛之间的对应关系。
• 建立拉格朗日子流形上局部系统的修改后 de Rham 复形与相应全纯向量丛的 Dolbeault 复形之间的拟同构，从而在镜像对称中联系辛几何与复几何。
• 将此构造推广至具有仿射拉格朗日纤维化的高维辛环，为高维镜像对称奠定基础。

提出的方法

• 在实环及其对偶的乘积上定义一个类 Poincaré 的丛，作为傅里叶变换的核。
• 在与纤维横截的拉格朗日子流形 $L$ 上构造一个修改后的 de Rham 复形，结合局部系统的联络与纤维化结构。
• 利用对偶纤维化 $M^\vee$ 为底空间赋予自然复结构，使 $L$ 在变换下的像成为全纯向量丛。
• 通过覆盖空间上单值性与上同调的显式分析，证明该全纯向量丛的 Dolbeault 复形与 $L$ 上局部系统的修改后 de Rham 复形之间存在拟同构。
• 基于提升 $\tilde{L}_j$ 在对偶环中的像，分析三种情形：不与零截面相交、在一点相交、无界行为，利用微分方程解的渐近行为。
• 使用算子 $\widehat{\frac{d}{dt}} = \frac{d}{dt} + at + b$ 建模联络，并在快速递减函数空间 $\hat{\mathcal{S}}(t_1,t_2)$ 中对解进行分类，以确保上同调同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖计算验证的前提下，构造一个从辛环的 Fukaya 族到其对偶复环上凝聚层导出范畴之间的函子？
• RQ2 拉格朗日子流形上局部系统的 de Rham 复形与相应全纯向量丛的 Dolbeault 复形之间的确切关系是什么？
• RQ3 在椭圆曲线的情形下，所有对偶复环上的全纯向量丛是否都能通过此变换从带有局部系统的拉格朗日子流形获得？
• RQ4 拉格朗日子流形上的修改后 de Rham 复形与 Fukaya 族中的态射复形之间有何关系？
• RQ5 为将此构造推广至高维拉格朗日纤维化，需要何种对闭 1-形式的 Morse 理论的推广？

主要发现

• 在与纤维横截的拉格朗日子流形 $L$ 上，局部系统的修改后 de Rham 复形与通过傅里叶变换得到的全纯向量丛的 Dolbeault 复形之间存在拟同构。
• 在椭圆曲线情形下，对偶复环上的每个全纯向量丛均可作为某个带有局部系统的拉格朗日子流形在该变换下的像而得到。
• 复形 $\oplus_j \mathbf{DR}({\cal L})_j$ 的上同调集中在度数 0，且 $H^0 \cong F^0$，在更高度数上消失。
• 当 $\tilde{L}_j$ 在对偶环中的像不与零截面相交时，微分 $d_j$ 是双射，意味着上同调平凡。
• 当像与零截面在一点相交时，$d_j$ 的核同构于该点处丛的纤维，且求值映射是双射。
• 该构造在修改后 de Rham 复形与 $L$ 与某一固定拉格朗日子流形之间在 Fukaya 族中的态射复形之间产生拟同构，从而为同调镜像对称提供了概念性联系。